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1、【新课教学过程设计（一）】第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系第2.3.4节平面与平面垂直的性质【本节教材分析】（一）三维目标1、知识与技能探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2、过程与方法面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3、情感、态度与价值观通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.（二）教学重点平面与平面垂直的性质定理（三）教学难点平面与平面性质定理的应用.（四）教学建议空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是
2、立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.【新课导入设计】导入一：(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？导入二：(事例导入)如图1，长方体ABCDABCD中，平面AADD与平面ABCD垂直,直线AA垂直于其交线AD.平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗？图1【课堂结构】提出问题如图3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.请同学们讨论直线AB与平面的位置关系.图3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.设
3、平面平面,点P,Pa,a,请同学们讨论直线a与平面的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面的关系.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系.问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面垂直,如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直
4、的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知,=a,AB，ABa于B.求证：AB.证明：在平面内作BECD垂足为B,则ABE就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD，BE与CD是内两条相交直线,AB.问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知，P，Pa，a.求证：a.图6证明：设=c，过点P在平面内作直线bc，,b.而a，Pa,经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线a应
5、与直线b重合.那么a. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面
6、面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.【课堂结构】思路1例1 如图7，已知，a,a,试判断直线a与平面的位置关系.图7解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.变式训练 如图8,已知平面交平面于直线a.、同垂直于平面，又同平行于直线b.求证：(1)a；(2)b. 图8 图9证明：如图9,(1)设=AB，=AC.在内任取一点P并在内作直线PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理,PNa.又PM，PN，a.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a2.b，ba1.同理,ba2.a1、a2同过Q且平行于b，a1、a2重合.又a1，a2，a1、a2都是、的交线，
7、即都重合于a.ba1，ba.而a，b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥PABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. 图10 图11（1）证明侧面PAB侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BCAB,又面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面PAB.又BC侧面PBC,侧面PAB侧面PBC.（2）解：如图11,取AB
8、中点E，连接PE、CE,又PAB是等边三角形,PEAB.又侧面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中，PCE=45为所求.（3）解：在矩形ABCD中，ABCD,CD侧面PCD，AB侧面PCD，AB侧面PCD.取CD中点F，连接EF、PF，则EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足为G，则EG平面PCD.在RtPEF中，EG=为所求.变式训练 如图12，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面A
9、BC所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=B1C1,BCB1C1，则B1C1面ABC.设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,则B1C1AE，即BCAE.过C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC,C1D面ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.又ABC是等边三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=
10、a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.例3 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.【分析】ABCD是边长为a的菱形；面PAD面ABCD.解答本题可先由面面得线面，再进一步得出线线【证明】(1)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形
11、，BGAD.又ADPGG，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.所以AD平面PBG，所以ADPB.【规律方法】证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理变式如图所示，CD，CDAB，CE、EF，FEC90，求证：面EFD面DCE.证明：，CD，CDAB，AB，CD.又EF，CDEF.又FEC90，EFEC.又ECCDC，EF面DCE.又EF面EFD，面EFD面DCE.例4 已知：如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为P
12、BC的垂心时，求证：ABC是直角三角形【分析】由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F，平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFPA.作DGAB于G，同理可证DGPA.DGDFD，PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.E是PBC的垂心，PCBH，又AE平面PBC，故AEPC，且AEBEE，PC平面ABE.PCAB.又PA平面ABC，PAAB，且PAPCP，AB平面PAC，ABAC，即ABC是直角三角形【规律方法】已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线
13、，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论变式如图，已知平面平面，平面平面，a，b，且ab.求证：. 证明：如图，在平面内作直线PQa，在平面内作直线MNb，垂足分别为Q、N.，a，PQ.同理MN.PQMN.PQ，MN，PQ.同理a.PQ，a，PQaQ，.【课堂小结】1.利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.2.转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.【作业】课本习题2.3 B组3、4.【当堂检测】1已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有（ ）5对 6对 7对 8对2平面平面，=，点，点，那么是的（ ） 充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件3若三个平面，之间有，则与（ ）垂直 平行 相交
