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1、抛物线【考点梳理】1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF|x0x0y0y0【考点突破】考点一、抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8
2、(2)若抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|PF|取最小值时点P的坐标为_.答案 (1) A (2) (2，2)解析 (1)由y2x，知2p1，即p，因此焦点F，准线l的方程为x.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d|AF|.从而x0x0，解得x01.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2，2).【类题通法】1凡涉及抛物线上的点到焦点
3、距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出【对点训练】1过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A9 B8 C7 D6答案 B解析 抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.2设P是抛物线y24x上的一个动点
4、，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_答案 解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|.考点二、抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M(5，3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于点M(M
5、在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A B C D答案 (1) D (2) D解析 (1)将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0)得x22py(p0)，所以抛物线的焦点坐标为.由y21得a，b1，c2.所以双曲线的右焦点为(2，0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为.即px4y2p0.设M(x00)，则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知，解得x0p，所以M，把M点的坐标代入得p2p0.解得p.【类题通法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只
6、有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【对点训练】1若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_答案 x2解析 由椭圆1，知a3，b，所以c2a2b24，所以c2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y22px的焦点为.依题意，得2，于是抛物线的准线x2.2以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案 B解析 不妨设抛物线C
7、：y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2(r0)，|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D，点A，D在圆x2y2r2上，85，解得p4(负值舍去)，故C的焦点到准线的距离为4.考点三、直线与抛物线的位置关系【例3】在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解析 (1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10
8、，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.【类题通法】判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.【对点训练】已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.答案 1，1解析 设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去
9、y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1.【例4】已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.解析 (1)把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也
10、就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y得4k2x2(4k4)x10.考虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10.所以y12x1.故A为线段BM的中点.【类题通法】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【对点训练】已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案 A解析 抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l2直线的斜率为，故l1：yk(x1)，l2：y(x1).由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线定义可知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|84k28216.当且仅当k2，即k1时取等号.故|AB|DE|的最小值为16.
