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1、了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件p的点M的集合；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都
2、在曲线上 一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程三、两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.考向一 考查曲线与方程的概念判断曲线与方程的关系时，把握两个对应
3、关系：（1）曲线上的每个点都符合某种条件；（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.典例1 方程表示的曲线是A一个圆和一条直线B半个圆和一条直线C一个圆和两条射线D一个圆和一条线段【答案】C典例2 方程y=-对应的曲线是【答案】A【解析】将y=-平方得x2+y2=4(y0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.1方程x2y22x+4y+50表示的图形是A一个点 B两条直线C一个圆 D一条直线与一个圆考向二 直接法求轨迹方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步
4、骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性典例3 已知坐标平面上一点与两个定点，且（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程【解析】（1）由，得，化简得，所以点的轨迹方程是，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆（2）当直线的斜率不存在时，此时所截得的线段的长为，2在平面直角坐标系中，已知定点，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为A BC D3设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的A一条直线 B
5、一个圆C双曲线的一支 D一个椭圆考向三 定义法求轨迹方程求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制典例4 已知圆A，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切.（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求MN的最小值.【解析】（1）设动圆P的半径为，则PA，PB=,4设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1，0)是圆内一
6、定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为A B C D 5如果点在运动过程中总满足关系式.（1）说明点的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程；（2）若是坐标原点，直线：交点的轨迹于不同的两点，求面积的最大值.考向四 相关点法求轨迹方程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程典例5 已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的
7、轨迹方程.【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0).因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，则x0x，y0.又点M在圆C上，所以，即，所以动点Q的轨迹方程为.典例6 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=e(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.6若动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为A BC D7如图所示，已知P(4，0)是圆x
8、2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.考向五 参数法求轨迹方程若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.参数法求轨迹方程的步骤： （1）选取参数k，用k表示动点M的坐标（2）得出动点M的参数方程.（3）消去参数k，得m的轨迹方程（4）由k的范围确定x，y的范围典例7 如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐
9、标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9.连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).（1）求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为41,求直线l的方程.【解析】解法一：（1）依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.由解得Pi的坐标为(i, ).因为点Pi的坐标
10、都满足方程x2=10y，所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y.（2）同解法一.8过点P1(1,5)作一条直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线,交y轴于点B,点M在线段AB上,且|BM|MA|=12,则动点M的轨迹方程为.考向六 圆锥曲线中的对称问题圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度
11、适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法. 典例8 若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围.【解析】解法一：如图,9已知椭圆，四点、中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：直线过定点.1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下面命题中正确的是A方程f(x，y)0的曲线是CB方程
12、f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上2下列四组方程表示同一条曲线的是Ay2=x与y=By=lg x2与y=2lg xC=1与lg(y+1)=lg(x-2)Dx2+y2=1与|y|=3方程表示的曲线是A半个圆 B双曲线的一支C一个圆 D双曲线4表示的曲线一定不是A抛物线 B双曲线C椭圆 D直线5当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段的中点的轨迹方程是A BC D6设动点P到A(5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是A BC D7设为椭圆上任意一点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为A BC D8已知两
13、点M(2，0)，N(2，0)，点P满足，则点P的轨迹方程为_.9由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为_10已知双曲线的一支C:y=和直线l:y=kx,若l与C有两个不同的交点A,B,则线段AB的中点的轨迹方程为_.11已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程.12如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，试求动点的轨迹方程13已知圆，直线，.（1）求证：对于，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，
14、并说明其轨迹是什么曲线.14已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.（1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.15已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点，的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，在椭圆上，且，两点关于直线对称，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.16已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，为坐标原点（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂直于轴的直线交于，证明：为定值，并求出该定值1
