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1、考点09 函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点1函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点2函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x21，由于方程x21=0无实数根，故该函数无零点3二次函数的零点二次函数的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104零点存在性
2、定理如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.二、二分法1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2用二
3、分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；a若f(c)=0，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)0，则令b=c(此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)0，则令a=c(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间a
4、，b上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)方程法：判断方程是否有实数解(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.典例1 函数的零点所在的区间为A B C D【答案】D【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断典例2 在用二分法求方程的一个近
5、似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为_.【答案】【解析】令， ， ， ，故下一步可以断定根所在区间为，故填.1若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是A B或 C D2已知函数（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x0，2的实数解x0在哪个较小的区间内考向二 函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图
6、象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例3 函数f(x)=2xlg(x1) 2的零点有A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】解法一：因为f(0)=102=10，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点又f(x)=2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)=0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点解法二：在同一坐标系中作出h(x)=22x和g(x)=lg(x1)的图
7、象，如图所示，由图象可知h(x)=22x和g(x)=lg(x1)有且只有一个交点，即f(x)=2xlg(x1)2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点3函数的零点个数为A B C D考向三 函数零点的应用问题高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用2已
8、知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确定零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例4 对任意实数a，b定义运算“”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)【答案】D【解析】由新定义可得，即.其图象如图所示，所以由恰有三个零点可得，1k2，所以2k1.故选D.4
9、已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是A B C D1下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A B C D2已知函数，在下列区间中包含零点的是A B C D3命题，命题函数在上有零点，则是的A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是A B C D5设方程两个根分别为，则A B C D6已知函数满足 ，且是偶函数，当时，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是A B C D7已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A B C D8已知定义域为的函数既是奇函数，又是
10、周期为3的周期函数，当时， ，则函数在区间上的零点个数是_9已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是_10已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知且，求证：方程在区间上有实数根.1（2018年高考新课标I卷理科）已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0） B0，+） C1，+） D1，+）2（2017年高考新课标卷理科）设函数，则下列结论错误的是A的一个周期为 B的图象关于直线对称C的一个零点为 D在(,)单调递减3（2017年高考新课标卷理科）已知函数有唯一零点，则a=ABCD14(2016年高考天津
11、卷理科) 已知函数(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是A BCD5（2018年高考新课标卷理科）函数在的零点个数为_6（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_7（2018年高考天津卷理科）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.8（2015年高考湖北卷理科）函数的零点个数为_9（2017年高考江苏卷理科）设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是_10（2016年高考山东卷理科）已知函数，其中若存在实数b，使得
12、关于x的方程有3个不同的根，则实数m的取值范围是_变式拓展【名师点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理，一次函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化化归能力和计算求解能力.求解时，由题意分类讨论和两种情况即可求得最终结果.2【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），又函数是连续函数，由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解（2）取，得，由此可得，则下一个有解区间为，再取，得，由此可得，则下一个有解区间为，综上所述，所求实数解在较小区间内.【思路分析】（1）通过与的乘积小于0，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，转化求解即可3【答案】C【
13、解析】函数的零点满足：，即，则原问题等价于求解函数与的交点的个数，在同一个平面直角坐标系中绘制两个函数的图象如图所示，观察可得，函数图象的交点个数为3个，故函数的零点个数为3.本题选择C选项.【名师点睛】先将原问题转化为两个函数图象的交点个数问题，再绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点
