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1、考点15 三角函数的图象与性质（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上
2、是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数的图象与性质1函数的图象的画法（1）变换作图法由函数的图象通过变换得到（A0,0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. （2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： 先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； 令,令X分别取0，,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点； 描点画图，再利
3、用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.2函数（A0,0）的性质（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.3函数（A0,0）的物理意义当函数（A0,0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.（2）
4、函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数 （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定【注】函数，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂
5、直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.考向一 三角函数的图象变换函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sin x，y=Asin(x)或y=Acos(x)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|，而不是x变为x|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A BC D【答案】A【解析】将函数的图象上
6、的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向1已知函数 的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移1个
7、单位长度D向右平移1个单位长度考向二 确定三角函数的解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(x)B(A0，0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求，已知函数的周期T，则.（3）求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x=；“第四点”(即图象的“谷点”)为x=；“第五点”为x=2.典例2已知函数的部分图象如图.（1）求函数的
8、解析式.（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.【解析】（1）由图象可知，又，故.周期，又，.则函数的解析式为. 2已知函数f(x)=Asin(x+)+h(A0,0,00）的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0）的最小正周期为4，则A函数f（x）的图象关于点对称B函数f（x）的图象关于直线x=对称C函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称D函数f（x）在区间（0，）内单调递增6若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为A BC D考向四 函数的性质与其他知识的综合应用与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函
9、数解析式为y=Asin(x)B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.（1）求的值及函数的单调递减区间；（2）当时,求函数的值域.【解析】（1） ，又的最小正周期为，.令，得，函数的单调递减区间为.（2），,故的值域为.典例6 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角，所对的边分别为，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.（2），因为，所以，所以，则，又上的中线长为，所以，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，由得：，所以.7已知向量，函数的最大值为.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角的对边分别为，若恒成立，求实数的取值范围.1下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的函数是A B C D2函数f(x)=cos2x2sinx的最大值与最小值的和是A2B0CD3函数的单调减区间为ABC D4设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则A，B，C，D，5已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象A关于点对称 B关于点对称C关于直线对称 D关于直线对称6函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间()上的值域为，则等于
