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1、专题二第3讲 平面向量三角函数、解三角形、平面向量与数列考向预测1以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现知识与技巧的梳理1平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2平面向量的两个充要
2、条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10(2)abab0x1x2y1y203平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos 4平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121)(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是()(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G热点题型热点一平面向量的有关运算【例1】(1) (2018大连八中)已
3、知向量，则m=（ ）A-2B2C-3D3(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC若12(1，2为实数)，则12的值为_ 解析(1) 向量，121（1+m），m3故选C(2)()，12，1，2，因此12答案(1)C(2)探究提高对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系【训练1】(2019广州一模)已知ABC的边BC上有一点D D满足BD=4DC，则AD可表示为( )AAD=14AB+34ACBAD=34AB+14ACCAD=45AB+15ACDAD=15AB+45AC解析 由题意可知A
4、D=AB+BD=AB+45BC=AB+45AC-AB=AD=15AB+45AC，故选D答案D热点二平面向量的数量积命题角度1平面向量数量积的运算【例21】(1) (2019株洲质检)在RtABC中，点D为斜边BC的中点，|AB|=8，|AC|=6，则ADAB=（ ）A48B40C32D16(2)(2016山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n若n(tmn)，则实数t的值为（ ）A4B4CD解析(1)因为点D为斜边BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，所以 ADAB= 12(AB+AC)AB=12AB2+12ACAB，又RtABC中ACAB，所以ADAB= 12AB2=
5、12|AB|2=32，故选C(2)n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4答案(1)C(2)B探究提高1求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义2进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量其次注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形3求两向量的夹角：cos ，要注意0，4两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|5求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2aa|a|2或|a|(2
6、)|ab|(3)若a(x，y)，则|a|【训练2】(1)(2015福建卷)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）A13B15C19D21(2) (2019新泰一中)已知向量a与b的夹角为120，且a=b=2，那么b2a-b的值为（ ）A8B6C0D4解析(1)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，则t(0，t)(1，4)点P(1，4)，则(1，t4)1717213，当且仅当4t，即t时取等号，故的最大值为13(2)向量a与b的夹角为120，且a=b=2，可得ab=abcos120=22-12=-2，即有b2a-b=2ab-b2=2-2-4=-8故
7、选A答案(1)A(2) A热点三平面向量与三角的交汇综合【例3】 (2017郑州质检)已知向量m(2sin x，cos2xsin2x)，n(cos x，1)，其中，若函数f(x)mn的最小正周期为(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x2sinf(x)的最小正周期为，(2)设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，cf(B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，a，sin Bsin A，ba，b3由正弦定理，有，解得sin A0A，AC，cacacos
8、Bcos 探究提高1破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化2这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解【训练3】(2018天津七校)在平面直角坐标系xoy中，已知向量a=(cosx,sinx),b=(1,3),x(3,)（1）若ab，求x的值；（2）若a与b的夹角为6，求cosx的值解（1）ab，ab=0，又ab=cos
9、x+3sinx=2(12cosx+32sinx)=2cos(x-3)=0， x-3=k+2(kZ) x(3,)， x=56（2）ab=|a|b|cos6=1232=3,2cos(x-3)=3，cos(x-3)=32， x(3,) x-3(0,23) sin(x-3)=12cosx=cos(x-3)+3=cos(x-3)cos3-sin(x-3)sin3=0限时训练（45分钟）经典常规题1(2018全国I卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（ ）A34AB-14ACB14AB-34ACC34AB+14ACD14AB+34AC2(2018全国II卷)已知向量，满足，则（
10、）A4B3C2D03(2018全国III卷)已知向量，若，则=_4(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值高频易错题1(2018平遥中学)若向量与满足a+ba，且a=1,b=2，则向量在方向上的投影为（ ）A3B-12C1D332(2019内江一模)若a=1，b=2，a+2b=13，则a与b的夹角为（ ）A6B3C2D233(2019乐山一模)如图所示，AD是三角形ABC的中线，O是AD的中点，若CO=AB+AC，其中,R，则+的值为（ ）A-12B12C-14D144(2
11、017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_5设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值精准预测题1(2017汉中模拟)已知向量a(2，4)，b(3，x)，c(1，1)，若(2ab)c，则|b|（ ）A9B3CD32(2018平遥中学)已知向量a=(+1,2),b=(-2,2),若|a-2b|=|a+2b|，则的值为（ ）A-3B-1C1D23(2019河南联考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|，且(a-b)(a+2b)，则a与b的夹角的
12、余弦值为（ ）A63B33C-63D-334(2017贵阳调研)已知向量a，b(sin x, sin x)，f(x)ab(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f1，a2，求三角形ABC面积的最大值5(2018武威十八中)已知函数fx=ab，其中a=2cosx,3sin2x,b=cosx,1,xR（1）求函数y=fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fA=2,a=7，且b=2c，求ABC的面积参考答案经典常规题1【解题思路】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到BC=BA+AC，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步应用相反向量，求得EB=34AB-14AC，从而求得结果【答案】根据向量的运算法则，可得BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故选A2【解题思路】根据向量模的性质以及向量乘法得结果【答案】因为a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=
