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1、天天练 32双曲线的定义、标准方程及性质一、选择题1(2017天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1答案：B解析：由e知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为yx，由P(0,4)知左焦点F的坐标为(4,0)，所以c4，则a2b28.选项B符合2(2017新课标全国卷，5)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：B解析：由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由
2、可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.3(2018山东潍坊模拟)曲线yx2在点P(1,1)处的切线与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是()A5 B.C. D.答案：B解析：由yx2求导，得y2x，ky|x12.函数yx2在点P(1,1)处的切线与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行，2，e，故选B.4已知双曲线1(a0，b0)的焦点为F1，F2，M为双曲线上一点，且MF1MF2，tanMF1F2，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.答案：D解析：因为MF1MF2，tanMF1F2，所以sinMF1F2，|MF2|F1F2|sinMF1F2，|MF1|.又
3、点M在双曲线上，所以2a|MF1|MF2|，所以e，故选D.5(2018河北唐山模拟)双曲线1的顶点到渐近线的距离为()A2 B3C2 D.答案：D解析：根据题意，双曲线的标准方程为1，其中a2，b2，则其顶点坐标为(2，0)，其渐近线方程为yx，即x3y0.由双曲线的对称性可知：无论哪个顶点到任何一条渐近线的距离都是相等的则顶点到渐近线的距离d.故选D.6(2018湖南郴州第一次教学质量监测)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e2，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案：C解析：e214，则，则渐近线方程为yx，故选C.7(2018河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)若双曲
4、线1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y22相交，则此双曲线的离心率的取值范围是()A(2，) B(1,2)C(1，) D(，)答案：C解析：双曲线的渐近线bxay0与圆(x2)2y22相交，圆心到渐近线的距离小于半径，即，b2a2，c22a2，e1，1e0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为()A2 B3C. D.答案：B解析：由题意知，e2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(m，n)，k1k23.故选B.二、填空题9(2018广东揭阳普宁市华侨
5、中学模拟)过双曲线x21的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|4，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_答案：12解析：由题意，|PF2|PF1|2，|QF2|QF1|2. |PF1|QF1|PQ|4，|PF2|QF2|44，|PF2|QF2|8.PF2Q的周长是|PF2|QF2|PQ|8412.10(2017北京卷，9)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案：2解析：由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e， 1m3，解得m2.11如果双曲线的离心率e，则称此双曲线为黄金双曲线有以下几个命题：双曲线1是黄金双曲线；双曲线y21是黄金双曲线；在双曲
6、线1(a0，b0)中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1(0，b)，若F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线；在双曲线1(a0，b0)中，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M，N两点，O为坐标原点，若MON120，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为_答案：解析：双曲线1中a22，b21，所以e2，所以双曲线1不是黄金双曲线；双曲线y21中a21，b2，则e2，即e，故双曲线是黄金双曲线；中，A2(a,0)，F1(c,0)，0，即b2ac，又b2c2a2，故c2a2ac，即e2e10，则e，故双曲线是黄金双曲线；中，不妨设M位于第一象限，可得点M(c，c)，因为点M在双曲线上，代入双曲线方程有c45a2c2a40，所以e2，故双曲线不是黄金双曲线三、解答题12过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求；(2)求AOB的面积解：(1)由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x270.x1x2，x1x2.(2)直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|d.
