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1、第2课时补集及综合应用 1 全集的概念及符号表示在研究集合与集合之间的关系时 如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集 那么称这个给定的集合为全集 全集通常用U表示 2 补集及其性质 1 定义 2 性质 思考 UA A U三者之间有什么关系 提示 A U UA U A UA U A UA 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 UU U U 2 若A B U 则 UA UB 3 若x U 则x A或x UA 二者必居其一 提示 1 由集合补集的定义可知两个等式都成立 2 画出维恩图可知 此说法正确 3 根据补集的定义可知 此说法正确 2 设集合U R M x x 2或x2 D x x 0或
2、x 2 解析 选A 如图 在数轴上表示出集合M 可知 UM x 0 x 2 3 已知全集U x 5 x 5 x Z A 0 1 2 则 UA 解析 易知U 4 3 2 1 0 1 2 3 4 A 0 1 2 故 UA 4 3 2 1 3 4 答案 4 3 2 1 3 4 类型一补集的运算 典例 1 2018 浙江高考 已知全集U 1 2 3 4 5 A 1 3 则 UA A B 1 3 C 2 4 5 D 1 2 3 4 5 2 若集合A 1 1 当S分别取下列集合时 求 SA 1 S R 2 S 2 3 S 4 1 思维 引 1 根据补集的定义直接写出 2 画数轴表示集合S和集合A 观察数轴
3、结合补集的定义求出 SA 解析 1 选C 因为全集U 1 2 3 4 5 A 1 3 所以 UA 2 4 5 2 1 把集合A表示在数轴上如图所示 由图知 SA 1 1 2 把集合S和A表示在数轴上 如图所示 由图易知 SA 1 1 2 3 把集合S和A表示在数轴上 如图所示 由图知 SA 4 1 1 内化 悟 借助数轴求集合的补集时要关注什么问题 提示 1 注意全集是什么 2 端点的画法及取到与否 类题 通 求集合补集的依据及处理技巧 1 依据 集合补集的定义 2 两种处理技巧 当集合用列举法表示时 可借助维恩图求解 当集合是用描述法表示的连续数集时 可借助数轴 利用数轴分析求解 习练 破
4、1 若全集U 0 1 2 3 且 UA 2 则集合A的真子集共有 A 3个B 5个C 7个D 8个 解析 选C 因为U 0 1 2 3 且 UA 2 所以A 0 1 3 所以集合A的真子集共有7个 2 已知全集U 3 集合A 3 4 则 UA 解析 借助数轴得 UA 3 4 答案 3 4 加练 固 已知全集为U 集合A 1 3 5 7 UA 2 4 6 UB 1 4 6 求集合B 解析 方法一 因为A 1 3 5 7 UA 2 4 6 所以U 1 2 3 4 5 6 7 又 UB 1 4 6 所以B 2 3 5 7 方法二 满足题意的维恩图如图所示 由图可知B 2 3 5 7 类型二集合交 并
5、 补的综合运算角度1借助维恩图进行集合的基本运算 典例 1 如图所示 I是全集 M P S是I的3个子集 则阴影部分所表示的集合是 A M P SB M P SC M P ISD M P IS 2 若设全集U 1 2 3 4 5 A 1 2 5 B 2 4 5 世纪金榜导学号 1 计算 UA UB A B A B 2 计算 UA UB UA UB U A B U A B 思维 引 1 根据交 并 补集的定义 逐个检验 2 进行集合的交 并 补混合运算时 有括号的先算括号内的 然后按照从左到右的顺序进行计算 解析 1 选C 阴影部分是M与P的公共部分 且在S的外部 2 1 因为U 1 2 3 4
6、 5 A 1 2 5 B 2 4 5 所以 UA 3 4 UB 1 3 A B 1 2 4 5 A B 2 5 2 UA UB 1 3 4 UA UB 3 U A B 3 U A B 1 3 4 素养 探 在集合交 并 补的综合运算问题中 经常利用核心素养中的直观想象 利用维恩图和数轴描述 分析集合的运算问题 在本例2 2 的基础上 猜测一个一般性的结论 并利用维恩图证明 解析 由此可猜测 UA UB U A B UA UB U A B 证明如下 用维恩图表示 UA UB U A B 有 用维恩图表示 UA UB U A B 有 角度2借助数轴进行集合的基本运算 典例 1 2018 天津高考
7、设全集为R 集合A x 0 x 2 B x x 1 则A RB A x 0 x 1 B x 0 x 1 C x 1 x 2 D x 0 x 2 2 已知集合U 4 集合A 2 3 B 3 2 求A B UA B A UB 世纪金榜导学号 思维 引 1 先计算 RB 再计算A RB 2 画数轴 先计算A B UA UB 再计算 UA B A UB 解析 1 选B 因为集合B x x 1 所以 RB x x 1 所以A RB x 0 x 1 2 如图所示 因为A 2 3 B 3 2 所以 UA 2 3 4 UB 3 2 4 A B 2 2 所以 UA B 2 3 4 A UB 2 3 类题 通 求
8、集合交 并 补运算的方法 习练 破 1 全集U x x 10 x N A U B U UB A 1 9 A B 3 UA UB 4 6 7 求集合A B 解析 方法一 根据题意作出维恩图如图所示 由图可知A 1 3 9 B 2 3 5 8 方法二 因为 UB A 1 9 UA UB 4 6 7 所以 UB 1 4 6 7 9 又因为U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以B 2 3 5 8 因为 UB A 1 9 A B 3 所以A 1 3 9 2 已知全集U 1 4 A 1 1 B 0 3 求 UA UB A 解析 因为U 1 4 A 1 1 B 0 3 结合数轴 如图 可知 UA 1
9、4 UB 3 4 1 0 结合数轴 如图 可知 UB A 1 0 加练 固 已知全集U R A x 4 x 2 B x 1 x 3 P 求A B UB P A B UP 解析 将集合A B P分别表示在数轴上 如图所示 因为A x 4 x3 又P 所以 UB P 又 UP 所以 A B UP x 1 x 2 x 0 x 2 类型三根据补集的运算结果求参数的值或范围 典例 1 已知全集U 2 0 3 a2 P 2 a2 a 2 且 UP 1 则实数a的值为 2 已知集合A 2 B 1 5 世纪金榜导学号 1 求 RA B 2 若D 1 a 1 a 且D RB RB 求实数a的取值范围 思维 引
10、1 由 UP 1 得 1 U 且 1 P 0 P 列方程求a的值 2 1 先计算 RA 再计算 RA B 2 由D RB RB 确定D与 RB的关系 解析 1 因为 UP 1 所以 1 U 且 1 P 0 P 所以解得a 2 经检验 a 2符合题意 故实数a的值为2 答案 2 2 1 因为集合A 2 B 1 5 所以 RA 2 RA B 1 2 2 因为D 1 a 1 a 且D RB RB RB 1 5 所以D RB 当D 时 1 a 1 a 解得a 0 成立 当D 时 或 无解 综上 实数a的取值范围是 0 内化 悟 对于含有参数的交 并 补问题 依据题目条件求出参数值后 还要注意什么问题
11、提示 需将参数值代回检验 舍去不符合题意的参数值 类题 通 由集合的补集求解参数的方法 1 有限集 由补集求参数问题 若集合中元素个数有限时 可利用补集定义并结合集合知识求解 2 无限集 与集合交 并 补运算有关的求参数问题 若集合中元素有无限个时 一般借助数轴分析法求解 发散 拓 补集思想的应用对于一些比较复杂 比较抽象 条件和结论之间关系不明确 难于从正面入手的数学问题 在解题时 可从问题的反面入手 探求已知和未知的关系 这时能化难为易 化隐为显 从而将问题解决 这就是 正难则反 的解题策略 也是处理问题的间接化原则的体现 延伸 练 已知集合A x x2 ax 1 0 B x x2 2x
12、a 0 C x x2 2ax 2 0 若三个集合至少有一个集合不是空集 求实数a的取值范围 解析 假设三个方程均无实根 则有即 解得 a 1 所以当a 或a 1时 三个方程至少有一个方程有实根 即三个集合至少有一个集合不是空集 则a的取值范围为 习练 破 已知集合A a B 1 3 若A RB 求实数a的取值范围 解析 RB 1 3 利用数轴画出集合A与 RB 如图 因为A RB 所以应满足a 1 故a的取值范围是 1 加练 固 已知全集U 6 5 M 3 2 N 0 2 1 求M UN 2 若C a 2a 1 且C UM 求a的取值范围 解析 1 全集U 6 5 M 3 2 N 0 2 所以
13、 UN 6 0 2 5 所以M UN 3 0 2 2 因为C a 2a 1 UM 6 3 2 5 且C UM 当C 时 a 2a 1 解得a 1 当C 且C UM 时 或解得2 a 3 综上所述 a的取值范围是 1 2 3 类型四集合的基本运算在实际问题中的应用 生活情境 某校随机抽取50名学生调查对A B两事件的态度 有如下结果 赞成A的人数是这50名学生的 其余的不赞成 赞成B的比赞成A的多3人 其余的不赞成 另外 对A B都不赞成的学生数比对A B都赞成的学 生数的多1人 你能说出对A B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗 转化模板 1 由题意 A和B都赞成对应交集 A和B都不赞成
14、对应并集的补集 所以可建立集合模型求解 2 设50名学生组成的集合为U 赞成A的学生全体为集合A 赞成B的学生全体为集合B 3 已知全集U中有50个元素 集合A中的元素个数是全集的 集合B中的元素比集合A中的元素多3个 集合A B相对于全集U的补集的元素个数比集合A B的元素的个数的多1人 求集合A和集合B元素的个数 4 设对A B都赞成的学生人数为x 已知赞成A的人数为50 30 赞成B的人数为30 3 33 记50名学生组成的集合为U 赞成A的学生全体为集合A 赞成B的学生全体为集合B 用维恩图表示如图所示 已知对A B都赞成的学生人数为x 则对A B都不赞成的学生人数为 1 赞成A而不赞成B的人数为30 x 赞成B而不赞成A的人数为33 x 依题意 30 x 33 x x 50 解得x 21 5 对A B都赞成的学生有21人 都不赞成的有8人
