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1、 7 2 3傅里叶变换式的物理意义 频谱 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系 频谱这个术语来自于光学 通过对频谱的分析 可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质 若已知 是以 为周期的周期函数 且满足狄利 克雷条件 则可展成傅里叶级数 7 2 16 其中 我们将 称为 的第 次谐波 称为第 次谐波的频率 由于 其中 称为初相 称为第 次谐波的振幅 记为 即 7 2 17 若将傅里叶级数表示为复数形式 即 7 2 18 其中 恰好是 次谐 波的振幅的一半 我们称 为复振幅 显然 次谐波的振幅 与复振幅有下列关系 7 2 19 当取 这些数值时 相应有不同的频率 和不同的振幅 所以式 7 2
2、19 描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况 频谱图通常是指频率和振幅的关系图 称为函数 的振幅频谱 简称频谱 若用横坐标表示频率 纵坐标表示振幅 把点 用图形表示出来 这样的图 形就是频谱图 由于 所以频谱 不连续的 称之为离散频谱 的图形是 7 3傅里叶变换定义 7 3 1傅里叶变换的定义 由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论 最后我们以简洁的复数形式 即指数形式 作为傅里叶变换的定义 定义7 3 1傅里叶变换 若 满足傅氏积分定理条件 称表达式 7 3 1 为 的傅里叶变换式 记作 我们 称函数 为 的傅里叶变换 简称傅氏变换 或称为像函数 定义7 3 2傅里叶逆变换如果 7 3
3、 2 则上式为 的傅里叶逆变换式 记为 我们称 为 或称为像原函数或原函数 的傅里叶逆变换 简称傅氏逆变换 由 7 3 1 和 7 3 2 知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换 即有 7 3 3 或者简写为 7 3 2多维傅氏变换 在多维 维 情况下 完全可以类似地定义函数 的傅氏变换如下 它的逆变换公式为 三维情况下用矢量表示傅氏变换 7 3 3傅里叶变换的三种定义式 其中 在实际应用中 傅里叶变换常常采用如下三种形式 由于它们采用不同的定义式 往往给出不同的结果 为了便于相互转换 特给出如下关系式 第一种定义式 2 第二种定义式 3 第三种定义式 三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换
4、对形式描述 特别说明 不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如 读者应能理解 本书采用的傅氏变换 对 是大量书籍中常采用的统一定义 若未特殊申明 均使用的是第二种定义式 例求矩形脉冲的复数数形式的付氏变换 解 例求单锯齿波f t 的复数数形式的付氏变换 解 例求f x e a x 的复数数形式的付氏变换 a 0 解 因此 得到 故 7 3 4广义傅里叶变换 前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件 那么对一些很简单 很常用的函数 例如单位阶跃函数 正 余弦函数等都无法确定其傅氏变换 这无疑限制了傅氏变换的应用 所以我们引入广义傅氏变换概念
5、系指 函数及其相关函数 的傅氏变换 在后面我们将看到 函数的傅氏变换在求解数理方程中有 着特殊的作用 这里先介绍其有关基本定义和性质 1 函数定义 定义7 3 3 函数 如果一个函数满足下列条件 则称之为 函数 并记为 7 3 4 且 7 3 5 函数的付氏变换 我们不加证明地指出与定义7 3 3等价的 函数的另一定义 定义7 3 4 函数 如果对于任意一个在区间 上连续的函数 恒有 则称满足上式中的函数 为 函数 对于任意的连续可微函数 定义 函数的导数为 7 3 6 根据上式显然有 7 3 7 由 函数定义7 3 4有 7 3 8 2 函数性质 性质1对于 的实常数 有 7 3 9 性质2
6、设 则 当 时 即对应为 故为偶函数 傅里叶变换的基本性质 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系 在实际信号分析中 经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解 因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质 并说明其应用 1 线性性质 傅里叶变换是一种线性运算 若则其中a和b均为常数 2 对称性 若则 可见 傅里叶变换之间存在着对称关系 即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系 其幅度之比为常数 式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调 例如 2 延迟性 表明若在时域平移时间t0 则其频谱函数的振幅并不改变 但其相位却将改变 t0 若则 3 频移性 频移性说明若
7、信号乘以e j 0t 相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e 0t 这就使频谱中的每条谱线都必须平移 0 亦即整个频谱相应地搬移了 0位置 若则 频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用 诸如调幅 同步解调 变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的 频谱搬移实现原理是将信号f t 乘以所谓载频信号cos 0t或sin 0t 即 原函数导数的Fourier变换 如果f x 满足Fourier积分定理的条件 设F f x F 则F f x i F f x i F 可以证明F f n x i nF 像函数导数的Fourier反演 设F 1 F f x 则F 1 F ix f x 可以证明F 1 F n ix nf x 有F xf x iF F xnf x inF n 原函数积分的Fourier变换 如果f x 满足Fourier积分定理的条件 设F f x F 则原函数导数的Fourier变换和原函数积分的Fourier变换使得导数和积分的运算在 空间变成简单的代数运算 卷积 卷积的可交换性 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系 若 和 则 证明 卷积 即F 1 F1 F2 f1 x f2 x 像函数的卷积定理F 1 F1 F2 2 f1 x f2 x F f1 x f2 x F1 F2 2 此课件下载可自行编辑修改 供参考 部分内容来源于网络 如有侵权请与我联系删除
