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1、第10讲数列、等差数列与等比数列1.(1)2014全国卷数列an满足an+1=,a8=2,则a1=.(2)2018全国卷记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.试做命题角度数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键一,利用an=得出an与an+1(或an-1)的递推式;关键二,观察递推式的形式,采用不同的方法求an.(2)若递推式形如an+1=an+f(n),an+1=f(n)an,则可分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;若递推式形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,且p1),则通常化为an+1-t=p(an-t)的形式,其中t=,再利用换元法
2、转化为等比数列求解.2.(1)2017全国卷等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8(2)2016全国卷设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.试做命题角度等差、等比数列的基本计算关键一:基本量思想(等差数列:首项a1和公差d.等比数列:首项a1和公比q).关键二:等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则an+am=ap+aq;等比数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则anam=apaq.3.(1)2017全国卷等差数列an的前n项和为Sn,a3
3、=3,S4=10,则.(2)2015全国卷设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.试做命题角度数列求和关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式求解.关键二:利用数列求和方法(公式法、倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.小题1数列的递推关系1 (1)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018= ()A.22018-1B.32018-6C.-D.-(2)已知数列an满足a1=15,=2(nN*),则的最小值为.听课笔记 【考场点拨】由递推关系式求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出
4、数列的一个通项公式(注意验证);将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式,或用累加法(适用于an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用于an+1=anf(n)型)、待定系数法(适用于an+1=pan+q型)求通项公式.【自我检测】1.数列an满足a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n=am+an+mn,则+等于 ()A.B.C.D.2.定义各项均不为0的数列an:a1=1,a2=1,当n3时,an=an-1+.定义各项均不为0的数列bn:b1=1,b2=3,当n3时,bn=bn-1+.则=()A.2017B.2018C.2019D.10093.在数列an中,a1=0,an+
5、1=,则数列an的前2018项和S2018=.4.已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=3n-1,则数列an的通项公式an=.小题2等差、等比数列的基本计算2 (1)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,bn=log2(),数列bn的前n项和为Tn,则满足Tn1024的n的最小值为()A.9B.10C.12D.15(2)已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则的最小值为.听课笔记 【考场点拨】等差、等比数列问题的求解策略:(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q;(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数
6、列,通项公式为an=pqn-1(p,q0)的形式的数列为等比数列;(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.【自我检测】1.已知数列an是公比为q的等比数列,若a1,a3,a2成等差数列,则公比q的值为()A.-B.-2C.1或-D.-1或2.等比数列an的首项为3,公比q1,若a4,a3,a5成等差数列,则数列an的前5项和S5=()A.-31B.33C.45D.933.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取得最小值时,n的值为.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9,a5=1,
7、则使得Sn0成立的n的最大值为.小题3等差、等比数列的性质3 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,则S13=()A.58B.54C.56D.52(2)已知数列an的各项都为正数,对任意的m,nN*,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+log2a7=.听课笔记 【考场点拨】等差、等比数列性质使用的注意点:(1)通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则对于等差数列有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=.(2)前n项和的性质:对于等差数列有Sm,S2m-
8、Sm,S3m-S2m,成等差数列;对于等比数列,若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列,则仅在q-1,或q=-1且m为奇数时满足.【自我检测】1.已知数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且满足a2017+a2018=,=4,则tan= ()A.-1B.C.1D.2.已知等比数列an中,a5=2,a6a8=8,则=()A.2B.4C.6D.83.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S10=10,S30=130,则S40= ()A.-510B.400C.400或-510D.30或404.已知等差数列an的公差不为0,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列,an的前n项和为Sn,
9、则Sn= ()A.B.C.D.小题4等差、等比数列的综合问题4 (1)已知等差数列an的前n项和为Tn,a3=4,T6=27,数列bn满足bn+1=b1+b2+b3+bn,b1=b2=1,设cn=an+bn,则数列cn的前11项和S11= ()A.1062B.2124C.1101D.1100(2)已知数列an的通项公式为an=n+t(tR),数列bn为公比小于1的等比数列,且满足b1b4=8,b2+b3=6,设cn=+,在数列cn中,若c4cn(nN*),则实数t的取值范围为. 听课笔记 【考场点拨】解决数列的综合问题的易失分点:(1)公式an=Sn-Sn-1适用于所有数列,但易忽略n2这个前
10、提;(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q=1或q1的情况,公式Sn=只适用于q1的情况.【自我检测】1.已知数列an的各项均为整数,a8=-2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=()A.8B.16C.64D.1282.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为,则S5= ()A.B.30C.31D.3.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5.若S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+N(2n),则S(5)=()A.342B.345C.341D.3464.已知等比数列a
11、n满足a2a5=2a3,且a4,2a7成等差数列,则a1a2an的最大值为.模块三数列第10讲数列、等差数列与等比数列典型真题研析1.(1)(2)-63解析 (1)由题易知a8=2,得a7=;a7=,得a6=-1;a6=-1,得a5=2,于是可知数列an具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=.(2)方法一:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,又由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n2),得Sn=2Sn-1-1(n2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以数列Sn-1是以S1-1=-2为首项,2为公比的等比数列,所以S6-1=(-2)25=-64,则S6=-6
12、3.方法二:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1,得Sn-1=2an-1+1(n2),-得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2),所以an是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,于是S6=-63.2.(1)A(2)64解析 (1)an为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,则=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).将a1=1代入上式并化简,得d2+2d=0,d0,d=-2,S6=6a1+d=16+(-2)=-24.(2)设该等比数列的公比为q,则q=,可得a1+a1=10,得a1=8,所以an=8n-1=n-4.所
13、以a1a2an=-3-2-1+0+(n-4)=,易知当n=3或n=4时,(n2-7n)取得最小值-6,故a1a2an的最大值为-6=64.3.(1)(2)-解析 (1)设公差为d,则a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=,=2,所以(2)因为a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以-=-1,所以数列是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以=-n,所以Sn=-.考点考法探究小题1例1(1)A(2)解析 (1)由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),两式作差可得3an+1=2an+1-2an-
14、3,即an+1=-2an-3,即an+1+1=-2(an+1),由3S1=2a1-3=3a1,可得a1=-3,a1+1=-2,数列an+1是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a2018+1=(-2)(-2)2017=22018,a2018=22018-1.(2)由=2,得an+1-an=2n,a1=15,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=15+2+4+2(n-1)=15+2=n2-n+15,a1=15满足上式,an=n2-n+15,=n+-1,易知当n依次取1,2,3时,n+-1的值递减;当n取大于或等于4的自然数时,n+-1的值递增.当n=3时,=3+5-1=7;当n=4时
