《高三数学（理）复习题：模块五解析几何限时集训（十七）Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学（理）复习题：模块五解析几何限时集训（十七）Word版含答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础过关1.已知直线l与抛物线y2=2x交于A,B(异于坐标原点O)两点.(1)若直线l的方程为y=x-2,求证:OAOB.(2)若OAOB,则直线l是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.2.已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程.(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点0,12,问在y轴上是否存在定点Q,使得MQO=NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请说明理由.3.如图X17-1所示,已知椭圆:x24+y23=1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭
2、圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在x轴上方),点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交直线l:x=4于M,N两点,记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN.(1)求直线PB的斜率(用k表示).(2)求点M,N的纵坐标yM,yN(用x1,y1表示),并判断yMyN是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.图X17-14.如图X17-2所示,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-12的直线与抛物线交于A,B两点.(1)求弦AB的中点M的纵坐标;(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|QF|-|QP
3、|QB|为定值.图X17-2能力提升5.已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心.过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程.(2)是否存在直线l使得2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为12,点M为椭圆上一动点,F1MF2面积的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作x轴的垂线l1,D为l1上异于点B的一点
4、,以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H,且l2与直线AD相交于点P,试判断|PF1|+|PH|是否为定值,并说明理由.限时集训(十七) 基础过关1.解:(1)证明:由y=x-2,y2=2x,得x2-6x+4=0,解得x=35,不妨取A(3-5,1-5),B(3+5,1+5),=0,OAOB.(2)显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+m,y2=2x,消去x得y2-2ty-2m=0,y1y2=-2m,x1x2=y122y222=m2,由OAOB,得=x1x2+y1y2=m2-2m=0,m=2,
5、直线l的方程为x=ty+2,直线l恒过定点,且定点坐标为(2,0).2.解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连接OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y轴的对称点F,连接FP,故|FP|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4|FF|=2.所以点P的轨迹是以F,F为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则a=2,c=1,b=3,所以曲线C的方程为x24+y23=1.(2)假设存在满足题意的定点Q,设Q(0,m).当直线MN的斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为y=kx+12(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由x24+y23=1,y
6、=kx+12,消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0,则x1+x2=-4k3+4k2,x1x2=-113+4k2.由MQO=NQO,得直线MQ与NQ的斜率之和为0,即y1-mx1+y2-mx2=kx1+12-mx1+kx2+12-mx2=2kx1x2+12-m(x1+x2)x1x2=0,即2kx1x2+12-m(x1+x2)=2k-113+4k2+12-m-4k3+4k2=4k(m-6)3+4k2=0,得m=6,所以存在定点Q(0,6)满足题意.当MN的斜率不存在或斜率为0时定点Q(0,6)也符合题意.综上,存在定点Q(0,6)满足题意.3.解:(1)由题,设直线AB的方程为y=k(x
7、-1)(k0),由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,又P(-x1,-y1),所以kPB=y1+y2x1+x2=k(x1-1)+k(x2-1)x1+x2=-34k.(2)直线PA的方程为y=y1x1x,所以yM=4y1x1.由题意可知,k=y1x1-1,所以直线PB的方程为y+y1=-3(x1-1)4y1(x+x1),则yN=-3(x1-1)(4+x1)4y1-y1.因为x124+y123=1,所以yMyN=-3(x1-1)(4+x1)x1-4y12x1=-3x12+4
8、y12+9x1-12x1=-9,所以,yMyN为定值-9.4.解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA2=xA,yB2=xB,两式相减得(yA-yB)(yA+yB)=xA-xB,所以kAB=yA-yBxA-xB=1yA+yB=-12,所以yA+yB=-2,所以弦AB的中点M的纵坐标yM=yA+yB2=-1.(2)证明:设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0),由x-x0=t1(y-y0),y2=x,得y2-t1y+t1y0-x0=0,所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|=1+t12|yE-y0|1+t12|yF-y0|=(1+t12)|y
9、02-x0|.同理设直线PB:x-x0=t2(y-y0),则|QP|QB|=(1+t22)|y02-x0|.因为t1=1kEF=1kPA=yA+yP,t2=1kPB=yB+yP,所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2,即t12=t22,所以|QE|QF|=|QP|QB|,即|QE|QF|-|QP|QB|=0,为定值. 能力提升5.解:(1)圆F的方程为(x-2)2+y2=1,圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p0),由p2=2,得p=4,抛物线E的方程为y2=8x.(2)假设存在直线l满足题意,若2|BC|是|AB|与|
10、CD|的等差中项,则|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8,则|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.若直线l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4.此时|AD|=8,不满足题意.若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.拋物线E的准线方程为x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,即4k2+8k2+4=10,解得k=2.当k=2时,k2x2-
11、(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根,k=2满足题意.综上,存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或直线l:2x+y-4=0.6.解:(1)由题意可知a2=b2+c2,ca=12,bc=3,解得a=2,b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),F2(1,0).因为过F2与圆E相切的直线分别切于B,H两点,所以|F2H|=|F2B|=1,所以|PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.设点E(2,t)(t0),则D(2,2t),圆E的半径为|t|,则直线AD的方程为y=t2(x+2).设l2的方程为x=ky+1,则|2-kt-1|1+k2=|t|,化简得k=1-t22t.由y=t2(x+2),x=1-t22ty+1,得y=6t3+t2,x=6-2t23+t2,所以点P6-2t23+t2,6t3+t2.因为6-2t23+t224+6t3+t223=t4+6t2+9(3+t2)2=1,所以点P在椭圆C上,所以|PF1|+|PF2|=4,即|PF1|+|PH|=4-1=3,为定值.
