《2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略课时作业： 15圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略课时作业： 15圆锥曲线的综合问题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业课时作业 15 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 1 2019 河北邢台模拟 已知椭圆 y2 1 上两个不同的点 x2 2 A B 关于直线 y mx 对称 1 2 1 求实数 m 的取值范围 2 求 AOB 面积的最大值 O 为坐标原点 解析 1 由题意知 m 0 可设直线 AB 的方程为 y x n 由 1 m Error Error 消去 y 得x2 x n2 1 0 1 2 1 m2 2n m 因为直线 y x n 与椭圆 y2 1 有两个不同的交点 所以 1 m x2 2 2n2 2 0 4 m2 将 AB 的中点 M 的坐标代入 y mx 解得 2mn m2 2 m2n
2、 m2 2 1 2 n m2 2 2m2 由 得 m 6 3 6 3 故 m 的取值范围是 6 3 6 3 2 令 t 则 t2 1 m 6 2 0 0 6 2 0 3 2 AB t2 1 2t4 2t2 3 2 t2 1 2 点 O 到直线 AB 的距离 d t2 1 2 t2 1 设 AOB 的面积为 S t 则 S t AB d 1 2 1 2 2 t2 1 2 2 2 2 2 当且仅当 t2 时 等号成立 此时满足 t2 1 2 0 3 2 故 AOB 面积的最大值为 2 2 2 2019 上海静安区模拟 设 m 0 椭圆 1 与双曲线 x2 3m y2 m C m2x2 y2 m2的
3、焦点相同 1 求椭圆 与双曲线 C 的方程 2 过双曲线 C 的右顶点作两条斜率分别为 k1 k2的直线 l1 l2 分别交双曲线 C 于点 P Q P Q 不同于右顶点 若 k1 k2 1 求 证 直线 PQ 的斜率为定值 并求出此定值 解析 1 由题意 得 2m m2 1 所以 m 1 所以椭圆 的方程为 y2 1 双曲线 C 的方程为 x2 y2 1 x2 3 2 双曲线 C 的右顶点为 1 0 因为 k1 k2 1 不妨设 k1 0 则 k20 和 定点 M 0 1 设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A B 两点 抛物线 C 在 A B 处的切线的交点为 N 1 若 N 在以 AB
4、 为直径的圆上 求 p 的值 2 若 ABN 的面积的最小值为 4 求抛物线 C 的方程 解析 设直线 AB y kx 1 A x1 y1 B x2 y2 将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x2 2pkx 2p 0 则 x1 x2 2pk x1x2 2p 1 由 x2 2py 得 y 则 A B 处的切线斜率的乘积为 x p x1x2 p2 2 p 点 N 在以 AB 为直径的圆上 AN BN 1 p 2 2 p 2 易得直线 AN y y1 x x1 直线 BN y y2 x x2 x1 p x2 p 联立 得Error Error 结合 式 解得Error Error 即 N
5、pk 1 AB x2 x1 1 k21 k2 x1 x2 2 4x1x21 k2 4p2k2 8p 点 N 到直线 AB 的距离 d kxN 1 yN 1 k2 pk2 2 1 k2 则 S ABN AB d 2 当且仅当 k 0 时 取 1 2 p pk2 2 32p 等号 ABN 的面积的最小值为 4 2 4 p 2 故抛物线 C 的方程为 x2 4y 2p 4 2019 贵州贵阳监测 已知椭圆 C 1 a b 0 的左 右 x2 a2 y2 b2 焦点分别为 F1 F2 为 M 为短轴的上端点 0 过 F2且 MF1 MF2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A B 两点 AB 2 1
6、 求椭圆 C 的方程 2 设经过点 2 1 且不经过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 G H 两点 若 k1 k2分别是直线 MG MH 的斜率 求 k1 k2的值 解析 1 由 0 得 b c MF1 MF2 将 x c 代入 1 中 得 y x2 a2 y2 b2 b2 a 因为 AB 所以 2 2b2 a2 又 a2 b2 c2 所以 a b 1 2 故椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 2 2 根据题意设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 k 1 即 y kx 2k 1 k 1 将 y kx 2k 1 代入 y2 1 中 得 x2 2 1 2k2 x2 4k 2k 1 x 8
7、k2 8k 0 由题意知 16k k 2 0 得 2 k0 和圆 C2 x 1 2 y2 2 倾斜角为 45 的直线 l1过 C1的焦点 且 l1与 C2 相切 1 求 p 的值 2 动点 M 在 C1的准线上 动点 A 在 C1上 若 C1在 A 点处的切 线 l2交 y 轴于点 B 设 求证 点 N 在定直线上 并求 MN MA MB 该定直线的方程 解析 1 依题意 设直线 l1的方程为 y x p 2 因为直线 l1与圆 C2相切 所以圆心 C2 1 0 到直线 l1 y x 的距离 d p 2 1 p 2 12 1 2 2 即 解得 p 6 或 p 2 舍去 1 p 2 22 所以
8、p 6 2 解法一 依题意设 M m 3 由 1 知抛物线 C1的方程为 x2 12y 所以 y x2 12 所以 y x 6 设 A x1 y1 则以 A 为切点的切线 l2的斜率 k x1 6 所以切线 l2的方程为 y x1 x x1 y1 1 6 令 x 0 则 y x y1 12y1 y1 y1 即 B 点的坐标 1 6 2 1 1 6 为 0 y1 所以 x1 m y1 3 m y1 3 MA MB 所以 x1 2m 6 MN MA MB 所以 x1 m 3 其中 O 为坐标原点 ON OM MN 设 N 点坐标为 x y 则 y 3 所以点 N 在定直线 y 3 上 解法二 设
9、M m 3 由 1 知抛物线 C1的方程为 x2 12y 设直线 l2的斜率为 k A 则以 A 为切点的切线 l2的方 x1 1 12x2 1 程为 y k x x1 x 1 12 2 1 联立 得 Error Error 消去 y 得 x2 12kx 12kx1 x 0 2 1 因为 144k2 48kx1 4x 0 所以 k 2 1 x1 6 所以切线 l2的方程为 y x1 x x1 x 1 6 1 12 2 1 令 x 0 得 B 点坐标为 0 1 12x2 1 所以 MA x1 m 1 12x2 1 3 MB m 1 12x2 1 3 所以 x1 2m 6 MN MA MB 所以
10、x1 m 3 其中 O 为坐标原点 ON OM MN 设 N 点坐标为 x y 则 y 3 所以点 N 在定直线 y 3 上 6 2019 全国卷 已知点 A 2 0 B 2 0 动点 M x y 满足 直线 AM 与 BM 的斜率之积为 记 M 的轨迹为曲线 C 1 2 1 求 C 的方程 并说明 C 是什么曲线 2 过坐标原点的直线交 C 于 P Q 两点 点 P 在第一象限 PE x 轴 垂足为 E 连接 QE 并延长交 C 于点 G 证明 PQG 是直角三角形 求 PQG 面积的最大值 解析 本题主要考查轨迹方程的求法 直线与椭圆的位置关系 意在考查考生的逻辑推理能力 运算求解能力 考
11、查方程思想 数形 结合思想 考查的核心素养是逻辑推理 直观想象 数学运算 1 由题设得 化简得 1 x 2 所以 C y x 2 y x 2 1 2 x2 4 y2 2 为中心在坐标原点 焦点在 x 轴上的椭圆 不含左右顶点 2 设直线 PQ 的斜率为 k 则其方程为 y kx k 0 由Error Error 得 x 2 1 2k2 记 u 则 P u uk Q u uk E u 0 2 1 2k2 于是直线 QG 的斜率为 方程为 y x u k 2 k 2 由Error Error 得 2 k2 x2 2uk2x k2u2 8 0 设 G xG yG 则 u 和 xG是方程 的解 故 x
12、G 由 u 3k2 2 2 k2 此得 yG uk3 2 k2 从而直线 PG 的斜率为 所以 PQ PG 即 uk3 2 k2 uk u 3k2 2 2 k2 u 1 k PQG 是直角三角形 由 得 PQ 2u PG 所以 PQG 的 1 k2 2uk k2 1 2 k2 面积 S PQ PG 1 2 8k 1 k2 1 2k2 2 k2 8 1 k k 1 2 1 k k 2 设 t k 则由 k 0 得 t 2 当且仅当 k 1 时取等号 1 k 因为 S 在 2 单调递减 所以当 t 2 即 k 1 时 8t 1 2t2 S 取得最大值 最大值为 16 9 因此 PQG 面积的最大值为 16 9
