《2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修1 (1).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修1 (1).ppt（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时零点的存在性及其近似值的求法 1 函数零点存在定理 1 条件 函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的曲线 并且f a f b 0 2 结论 函数y f x 在区间 a b 中至少有一个零点 即 x0 a b f x0 0 思考 1 函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续不断的曲线 f a f b 0时 能否判断函数在区间 a b 上的零点个数 提示 只能判断有无零点 不能判断零点的个数 2 函数y f x 在区间 a b 上有零点 是不是一定有f a f b 0 2 二分法的概念对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f
2、 x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到函数零点的方法叫做二分法 思考 能否用二分法求方程的近似解 提示 能 方程的根即为函数的零点 3 用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度 用二分法求函数f x 零点x0近似值x1 使得 x1 x0 的一般步骤如下 第一步 检查 b a 2 是否成立 如果成立 取x1 计算结束 如果不成立转到第二步 第二步 计算区间 a b 的中点对应的函数值 若f 0 取x1 计算结束 若f 0 转到第三步 第三步 若f a f 0 将 b 回到第一步 否则必有f f b 0 将 a 回到第一步 思考 当 b a 2 时 取区间 a b 的
3、中点作为零点的近似解 区间 a b 上的其他点一定不是零点的近似解吗 为什么不取其他的点作为近似解 提示 设函数的零点是x0 区间 a b 的其他点为x x 也可能是零点的近似解 即满足 x x0 但是也可能不满足 而区间的中点一定满足 因此只取区间的中点作为近似解 而不取其他的点 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 函数y 2x 1的零点是 2 若函数y f x 在区间 a b 上f a f b 0 则在区间 a b 上一定没有零点 3 求任何函数的零点都可以用二分法 提示 1 函数y 2x 1的零点是 2 如f x x2在区间 1 1 上有f 1 f 1 1 1 1 0 但是在区间
4、 1 1 上有零点0 3 函数需满足在区间 a b 上连续不断且f a f b 0 才能用二分法求零点 2 下列图像表示的函数中没有零点的是 解析 选A B C D的图像均与x轴有交点 故函数均有零点 A的图像与x轴没有交点 故函数没有零点 3 下列图像与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点的是 解析 选A 只有A中图像没有穿越x轴 类型一函数零点所在区间的求法 典例 1 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 A a b 和 b c 内B a 和 a b 内C b c 和 c 内D a 和 c 内 2 函数f x 2x 的零点所
5、在的区间是 A 1 B C D 思维 引 1 根据函数零点存在定理 找到一个区间 使得在区间两端点函数值异号 2 计算在各个区间端点处的函数值 利用零点存在定理判断 解析 1 选A 因为f x x a x b x b x c x c x a 所以f a a b a c f b b c b a f c c a c b 因为a0 f b 0 所以f a f b 0 f b f c 0 故 x1 a b x2 b c f x1 0 f x2 0 所以f x 的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 2 选B f 1 2 1 1 即ff 1 0 所以 x0 f x0 0 且f x 的图像在内是一
6、条连续不断的曲线 故f x 的零点所在的区间是 内化 悟 求函数零点所在区间的关键是什么 提示 判断区间端点处函数值与0的大小关系 类题 通 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代入 将区间端点值代入函数求出函数的值 2 判断 把所得的函数值相乘 并进行符号判断 3 结论 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 习练 破 对于方程x3 x2 2x 1 0 有下列判断 在 2 1 内有实数根 在 1 0 内有实数根 在 1 2 内有实数根 在 内没有实数根 其中正确的有 填序号 解析 设f x x3 x2 2x 1 则f 2 1
7、0 f 0 10 所以f 2 f 1 0 f 1 f 0 0 f 1 f 2 0 所以 x1 2 1 x2 1 0 x3 1 2 f x1 0 f x2 0 f x3 0 则f x 在 2 1 1 0 1 2 内均有零点 即 正确 答案 加练 固 函数f x x2 2x a在区间 2 0 和 2 3 内各有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 因为函数f x x2 2x a在区间 2 0 和 2 3 内各有一个零点 由二次函数图像的性质 知解得 3 a 0 答案 3 0 类型二确定函数零点的个数 典例 1 函数f x x2 1的零点个数是 A 0B 1C 2D 3 2 函数f x ax2 bx
8、 c 若f 1 0 f 2 0 则f x 在 1 2 上的零点世纪金榜导学号 A 至多有一个B 有一个或两个C 有且仅有一个D 一个也没有 思维 引 1 令f x 0 移项后转化为两个初等函数 利用图像的交点个数判断 2 先确定函数 再分类讨论a的范围 解析 1 选C 令f x x2 1 0 得 x2 1 则函数f x 的零点个数 即y 与y x2 1的交点个数 如图所示 有两个交点 故函数f x x2 1有两个零点 2 选C 若a 0 则f x bx c是一次函数 由f 1 f 2 0 与已知矛盾 内化 悟 在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数 提示 转化为两个函数的图像的交点问题 几个
9、交点就有几个零点 类题 通 利用函数的图像判断零点个数 1 原理 函数的零点个数 方程的根的个数 移项拆分为两个函数 作图观察交点个数 2 关键 拆分成的两个函数应方便作图 习练 破 函数f x x2 k 2 x 1 3k有两个不等零点x1 x2 且0 x1 1 x2 2 求实数k的取值范围 解析 因为函数f x x2 k 2 x 1 3k有两个零点x1 x2 且0 x1 1 x2 2 所以设f x x2 k 2 x 1 3k 画出函数的大致图像如图 据图像有f 0 1 3k 0 且f 1 4k0 所以0 k 所以实数k的取值范围为 加练 固 函数f x 2 x 1 1 的零点个数为 解析 令
10、2 0 解得x 0 所以函数仅有一个零点 答案 1 类型三二分法的应用角度1二分法概念的理解 典例 1 用二分法求如图所示函数f x 的零点时 不可能求出的零点是 A x1B x2C x3D x4 2 用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的近似解 验证f 2 f 4 0 给定精度为0 1 需将区间等分 次 思维 引 1 根据二分法的定义判断 2 根据二分法求零点的步骤判断 解析 1 选C 二分法求函数f x 的零点时 函数必须满足在零点两侧的函数值异号 而题图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值 故不能用二分法求出 2 开区间 2 4 的长度等于2 每经过一次操作 区间长度变为原来的
11、一半 经过n次操作后 区间长度变为因为用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的近似解 要求精确度为0 1 所以 0 2 解得n 4 答案 4 内化 悟 能用二分法求零点的函数图像有什么特征 提示 函数的图像应穿过x轴 零点左右的函数值符号相反 类题 通 运用二分法求函数的零点应具备的条件 1 函数图像在零点附近连续不断 2 在该零点左右函数值异号 只有满足上述两个条件 才可用二分法求函数零点 习练 破 1 下列函数中 不能用二分法求零点的是 解析 选D 由函数图像可得 D中的函数没有零点 故不能用二分法求零点 A B C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反 故能用二分法求函数的
12、零点 2 下列函数的零点不能用二分法求解的是 A f x x3 1B f x 2x 1C f x x D f x x2 4x 1 解析 选C 所给函数均为连续函数 故只需考虑是否存在区间 a b 使得f a f b 0即可 对于A 存在区间 0 2 使得f 0 f 2 0 对于B 存在区间 0 1 使得f 0 f 1 0 对于C 由于f x x 0 故不存在区间 a b 使得f a f b 0 对于D 存在区间 0 1 使得f 0 f 1 0 角度2用二分法求函数的近似解 典例 1 用二分法研究函数f x x3 2x 1的零点时 若零点所在的初始区间为 1 2 则下一个有解区间为 A 1 2
13、B 1 75 2 C 1 5 2 D 1 1 5 2 已知函数f x x3 2x 8的零点用二分法计算 附近的函数值参考数据如表所示 则方程x3 2x 8 0的近似解可取为 精度0 1 世纪金榜导学号A 1 50B 1 625C 1 75D 1 6875 思维 引 1 确定有解区间要计算f 1 f 2 f 1 5 2 首先确定有解区间 再验证是否满足精度 解析 1 选C 对于函数f x x3 2x 1 因为f 1 20 f 1 5 0 因此 x0 1 5 2 f x0 0 所以下一个有根区间是 1 5 2 2 选D 由表格可得 f 1 625 f 1 75 0 那么 x0 1 625 1 75
14、 f x0 0 所以函数f x 的零点在 1 625 1 75 之间 又1 75 1 625 0 125 2 0 1 0 2 所以方程的零点可以取 内化 悟 1 怎么样确定零点所在的区间 提示 取中点 计算中点的函数值 与端点函数值比较符号异同 在符号相异的一侧区间内 2 怎样确定二分法终止的区间 提示 验证是否满足 a b 2 类题 通 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 1 需依据图像估计零点所在的初始区间 m n 一般采用估计值的方法完成 2 取区间端点的平均数c 计算f c 确定有解区间是 m c 还是 c n 逐步缩小区间的 长度 直到区间的两个端点符合精度要求 终止计算 得到函
15、数零点的近似值 习练 破 1 用二分法求函数f x x3 5的零点可以取的初始区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 选A 二分法求变号零点时所取初始区间 a b 应满足f a f b 0 本题中函数f x x3 5 由于f 2 3 f 1 6 显然满足f 2 f 1 0 因此 x0 2 1 f x0 0 故函数f x x3 5的零点可以取的初始区间是 2 1 2 用二分法求f x 0的近似解 f 1 2 f 1 5 0 625 f 1 25 0 984 f 1 375 0 260 下一个求f m 则m 解析 根据题意 方程f x 0的根应该在区间 1 375 1 5 上
16、 则m 1 4375 答案 1 4375 加练 固 用二分法找函数f x 2x 3x 7在区间 0 4 上的零点近似值 取区间中点2 则下一个存在零点的区间为 A 0 1 B 0 2 C 2 3 D 2 4 解析 选B 因为f 0 20 0 7 60 又已知f 2 22 6 7 3 0 所以f 0 f 2 0 因此 x0 0 2 f x0 0所以零点所在区间为 0 2 角度3零点 二分法的综合应用 典例 若函数f x 3x2 5x a的一个零点在区间 2 0 内 另一个零点在区间 1 3 内 则实数a的取值范围是 思维 引 根据函数的一个零点在区间 2 0 内 另一个零点在区间 1 3 内 可以求出f 2 与f 0 的关系和f 1 与f 3 的关系 再求出a的取值范围 解析 根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像 如图 由图可知解得 12 a 0 答案 12 0
