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1、利用化归思想求数列通项公式肥城市泰西中学 刘鑫迪 所谓化归思想就是将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题;将抽象的问题转化为具体的、直观的问题;将复杂的问题转化为简单的问题;将一般性的问题转化为特殊的问题,将实际问题转化为数学问题,最终使问题得到解决,这种思想方法称为化归(转化)思想。运用化归思想求解数列的通项公式,其思路是通过恰当变换所给出的递推关系,将非等差非等比数列转化为特殊数列而求得其通项公式。运用化归思想解题的常用方法有:累加法、累乘法、分离常数法、待定系数法、作差法、倒数法、取对数法、换元法、配凑法等。下面结合我在学习过程中积累的一些例子加以说明。一、形如an+1
2、 =an+ f(n)的数列此类数列的思路是运用化归思想将其转化为an+1-an = f(n),利用累加法求其通项公式。例1:在数列中a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*),求an的表达式。解:由题意可得an+1-an=2n-1,则有an-an-1=2n-3,an-1-an-2=2n-5,a2-a1=1,以上n-1个式子累加得an-a1=(2n-3)+(2n-5)+1=an=+ a1=+ 0=点评:求通项公式时,注意f(n)是一个关于n的变量。二、形如的数列例2:(2015上海闵行区模拟)=1,an0,且(n+1)a2n-na2n+an+1an=0(nN*),则an=_.解:由(n+1
3、)a2n-na2n+an+1an=0(nN*)因式分解得(n+1)an+1-nan( an+1+an)=0an0 (n+1)an+1-nan=0,即=,.以上个式子累乘得.又a1=1 an=(nN*)点评:本例通过转化为类型的数列,再利用累乘法求解。三、形如的数列此类数列解决的思路是,运用化归思想将其转化为等比数列求解,具体方法是分离常数法或作差法。例3:(2014全国理稍作变动)已知数列满足=1,.并求的通项公式;解法1:由得, 是首项为,公比为3的等比数列。=,的通项公式为an=解法2: an+1=3an+1 an=3an-1+1 两式相减得:an+1-an=3(an-an-1)数列an-
4、an-1是以a2-a1=3为首项,3为公比的等比数列an-an-1=3n-13,由累加法得an=点评:本例运用化归思想,以转化为特殊数列为目标,通过分离常数法、作差法实现求解目的。四、分式型数列此类数列解决的思路是,运用化归思想将其转化为等差、等比数列求解,具体转化途径是取倒数法。例4、(2015天津南开模拟)已知数列an,a1且an0,an+1=(nN*),则数列an的通项公式是_.解:an0,由an+1=两边同时取倒数得,是以首项为=1,公差为2的等差数列,=+(n-1)2=2n-1,an=(nN*).例5、已知数列满足,求的通项公式。解:两边取倒数得: 是以为首项,2为公比的等比数列。
5、点评:上述两例以化归为等差数列、等比数列为目标,通过取倒数的方法求得通项公式。五、形如的数列(1)若此类数列解决的思路是,运用化归思想将其转化为一阶线性递推公式求解,具体方法是两边同除以得:,令,利用待定系数法求通项公式。例6、已知数列满足,求解:由已知得设,故有 是以为公比,为首项的等比数列 点评:本例中运用化归思想,通过换元法将数列转化为等比数列,从而求出通项公式。(2)若f(n)= Bn+C此类数列解决的思路是,运用化归思想将其转化为一阶线性递推公式求解,具体转化途径是分解f(n),使:f(n) =p*g(n) -g(n+1) 则有:an+1 =p*an+f(n) an+1+g(n+1)
6、 =p*an +g(n) 数列an +g(n)为公比为p的等比数列(p=1时,为等差数列),然后求其通项公式。例7、设数列中,求的通项公式。解:设 与原式比较系数得: 即 令 点评:本例中运用化归转化思想,通过待定系数法将一阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。六、形如的数列此类数列解决的思路是,运用化归思想将其转化为等比数列求解,具体途径是运用待定系数法进行转化。例8、数列,且,求数列的通项公式。解:设 比较得: 或 或是以为首项,为公比的等比数列. 易得: ,由适合 点评:本例中运用化归思想,通过待定系数法将二阶递推公式转化为一阶线性递推公式,进而求出其通项公式。七、其他方法(1)利用求通
7、项公式。例9、(2015全国)Sn为数列an的前n项和.已知an0,an2+2an=4Sn+3,求an的通项公式。解:,两式相减可得即,故可得是等差数列,将代入中可得或(舍去)因此可得通项公式为点评:本例运用化归转化思想,通过因式分解法将二阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。(2)利用取对数法求通项公式例10、在数列an中,a1=2,an=an-12(n2),求数列an通项公式。解: a1=2,an=an-12(n2)0,两边同时取对数得,lg an=2lg an-1=2, 根据等比数列的定义知,数列lg an是首项为lg2,公比为2的等比数列,根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=数列通项公式为an=点评:本例通过两边取对数,转化成形式,转化为等比数列,先求出的通项公式,从而求出的通项公式。总之,利用化归思想求数列的通项公式是一种十分有效的方法。在解题中化归的思想与方法几乎是无处不在,无时不在,我们还要把它推广到其它知识的学习和运用中。在数学学习中时常运用化归思想,对培养我们思维的灵活性、广阔性、敏捷性、创造性具有重要的意义,有助于提高我们发现问题,探索问题,解决问题的能力。参考文献:1、数学思想与数学方法选讲 李玉琪著2、2015全国各省市高考试题汇编、2014全国各省市高考试题汇编通联地址:山东省肥城市新城街道长山街南首彩虹小区电话:13954893103