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1、利用化归思想求数列通项公式肥城市泰西中学 刘鑫迪 所谓化归思想就是将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，最终使问题得到解决，这种思想方法称为化归(转化)思想。运用化归思想求解数列的通项公式，其思路是通过恰当变换所给出的递推关系，将非等差非等比数列转化为特殊数列而求得其通项公式。运用化归思想解题的常用方法有：累加法、累乘法、分离常数法、待定系数法、作差法、倒数法、取对数法、换元法、配凑法等。下面结合我在学习过程中积累的一些例子加以说明。一、形如an+1
2、 =an+ f(n)的数列此类数列的思路是运用化归思想将其转化为an+1-an = f(n)，利用累加法求其通项公式。例1：在数列中a1=0，an+1=an+(2n-1)（nN*），求an的表达式。解：由题意可得an+1-an=2n-1，则有an-an-1=2n-3，an-1-an-2=2n-5，a2-a1=1，以上n-1个式子累加得an-a1=（2n-3）+（2n-5）+1=an=+ a1=+ 0=点评：求通项公式时，注意f(n)是一个关于n的变量。二、形如的数列例2：（2015上海闵行区模拟）=1，an0，且（n+1）a2n-na2n+an+1an=0（nN*），则an=_.解:由（n+1
3、）a2n-na2n+an+1an=0（nN*）因式分解得(n+1)an+1-nan( an+1+an)=0an0 (n+1)an+1-nan=0，即=，.以上个式子累乘得.又a1=1 an=（nN*）点评：本例通过转化为类型的数列，再利用累乘法求解。三、形如的数列此类数列解决的思路是，运用化归思想将其转化为等比数列求解，具体方法是分离常数法或作差法。例3：（2014全国理稍作变动）已知数列满足=1，.并求的通项公式；解法1：由得， 是首项为，公比为3的等比数列。=，的通项公式为an=解法2： an+1=3an+1 an=3an-1+1 两式相减得：an+1-an=3(an-an-1)数列an-
4、an-1是以a2-a1=3为首项，3为公比的等比数列an-an-1=3n-13，由累加法得an=点评：本例运用化归思想，以转化为特殊数列为目标，通过分离常数法、作差法实现求解目的。四、分式型数列此类数列解决的思路是，运用化归思想将其转化为等差、等比数列求解，具体转化途径是取倒数法。例4、（2015天津南开模拟）已知数列an，a1且an0，an+1=（nN*），则数列an的通项公式是_.解：an0，由an+1=两边同时取倒数得，是以首项为=1，公差为2的等差数列，=+（n-1）2=2n-1，an=（nN*）.例5、已知数列满足，求的通项公式。解：两边取倒数得： 是以为首项，2为公比的等比数列。
5、点评：上述两例以化归为等差数列、等比数列为目标，通过取倒数的方法求得通项公式。五、形如的数列（1）若此类数列解决的思路是，运用化归思想将其转化为一阶线性递推公式求解，具体方法是两边同除以得：，令，利用待定系数法求通项公式。例6、已知数列满足，求解：由已知得设，故有 是以为公比，为首项的等比数列 点评：本例中运用化归思想，通过换元法将数列转化为等比数列，从而求出通项公式。（2）若f(n)= Bn+C此类数列解决的思路是，运用化归思想将其转化为一阶线性递推公式求解，具体转化途径是分解f(n)，使：f(n) =p*g(n) -g(n+1) 则有：an+1 =p*an+f(n) an+1+g(n+1)
6、 =p*an +g(n) 数列an +g(n)为公比为p的等比数列（p=1时，为等差数列），然后求其通项公式。例7、设数列中，求的通项公式。解：设 与原式比较系数得： 即 令 点评：本例中运用化归转化思想，通过待定系数法将一阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。六、形如的数列此类数列解决的思路是，运用化归思想将其转化为等比数列求解，具体途径是运用待定系数法进行转化。例8、数列，且，求数列的通项公式。解：设 比较得： 或 或是以为首项，为公比的等比数列. 易得： ，由适合 点评：本例中运用化归思想，通过待定系数法将二阶递推公式转化为一阶线性递推公式，进而求出其通项公式。七、其他方法（1）利用求通
7、项公式。例9、（2015全国）Sn为数列an的前n项和.已知an0，an2+2an=4Sn+3，求an的通项公式。解：，两式相减可得即，故可得是等差数列，将代入中可得或（舍去）因此可得通项公式为点评：本例运用化归转化思想，通过因式分解法将二阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。（2）利用取对数法求通项公式例10、在数列an中，a1=2，an=an-12(n2)，求数列an通项公式。解： a1=2，an=an-12(n2)0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1=2， 根据等比数列的定义知，数列lg an是首项为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=数列通项公式为an=点评：本例通过两边取对数，转化成形式，转化为等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。总之，利用化归思想求数列的通项公式是一种十分有效的方法。在解题中化归的思想与方法几乎是无处不在，无时不在，我们还要把它推广到其它知识的学习和运用中。在数学学习中时常运用化归思想，对培养我们思维的灵活性、广阔性、敏捷性、创造性具有重要的意义，有助于提高我们发现问题，探索问题，解决问题的能力。参考文献：1、数学思想与数学方法选讲 李玉琪著2、2015全国各省市高考试题汇编、2014全国各省市高考试题汇编通联地址：山东省肥城市新城街道长山街南首彩虹小区电话：13954893103
