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1、二 微分运算法则 三 微分在近似计算中的应用 一 微分的概念 2 3微分的概念及运算 正方形金属薄片受热后面积的改变量 一 微分的概念 1 引例 再例如 既容易计算又是较好的近似值 问题 这个线性函数 改变量的主要部分 是否所有函数的改变量都有 它是什么 如何求 的微分 2 定义 若函数 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 即 在点 可微 在点处可导 且 3 可微的条件 定理 函数 证 必要性 已知 在点可微 则 故 在点可导 且 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即
2、 充分性 已知 即 在点的可导 则 说明 时 所以 时 很小时 有近似公式 与 是等价无穷小 当 故当 二 微分的几何意义 当很小时 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分 记作 记 三 微分的计算 求法 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1 基本初等函数的微分公式 P57 2 微分运算法则 设u x v x 均可微 则 C为常数 分别可微 的微分为 微分形式不变性 5 复合函数的微分 则复合函数 例1 解 方法二 用微分形式的不变性 方法一 用定义 例2 解 例3 设 求 解 利用一阶微分形式不变性 有 例4 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 说明 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容 练习P 603 1 3 5 7 1 计算函数增量的近似值 四 微分在近似计算中的应用 2 计算函数的近似值 使用原则 的近似值 解 取 则 例 求 设 常用近似公式 很小 证明 5 3 计算在点附近的函数近似值 例 解 例 有一批半径为1cm的球 为了提高球面的光洁度 解 已知球体体积为 镀铜体积为V在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 g 用铜多少克 估计一下 每只球需 要镀上一层铜 厚度定为0 01cm 练习P 605 2 4 6 作业P 603 2 4 6 4 在书上填 5 3 小结
