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1、图4 2方波信号的傅里叶级数 例4 1试将图4 2所示的方波信号f t 展开为傅里叶级数 方波信号f t 展开为傅里叶级数 解我们将信号按式 4 6 分解成傅里叶级数 并按式 4 7 4 8 4 9 分别计算an bn及c 例3 3 1 试画出f t 的振幅谱和相位谱 解f t 为周期信号 题中所给的f t 表达式可视为f t 的傅里叶级数展开式 据 可知 其基波频率 rad s 基本周期T 2s 2 3 6 分别为二 三 六次谐波频率 且有 振幅谱和相位谱例题 其余 图3 3 1例3 3 1信号的频谱 振幅谱 b 相位谱 图3 3 2例3 3 1信号的双边频谱 a 振幅谱 b 相位谱 例3
2、4 2求指数函数f t 的频谱函数 图3 4 2单边指数函数e t及其频谱 a 单边指数函数e t b e t的幅度谱 单边指数函数f t 的频谱函数 其振幅频谱及相位频谱分别为 解 4 41 4 40 单边指数信号的频谱 例4 4求单边指数信号的频谱 解单边指数信号是指 图4 7单边指数信号及其频谱 例3 4 3求图3 4 3 a 所示双边指数函数的频谱函数 偶对称双边指数函数的频谱函数 图3 4 3双边指数函数及其频谱 a 双边指数函数 b 频谱 4 42 从频谱函数的定义式出发 4 43 例4 5求双边指数信号的频谱 解双边指数信号是指 偶对称双边指数信号的频谱 图4 8双边指数信号及其
3、频谱 例3 4 4求图3 4 4 a 所示信号f t 的频谱函数 图3 4 4例3 4 4图 a 信号f t b 频谱 奇对称双边指数函数的频谱函数 a 0 解图示信号f t 可表示为 例3 4 1图3 4 1 a 所示矩形脉冲一般称为门函数 其宽度为 高度为1 通常用符号g t 来表示 试求其频谱函数 解门函数g t 可表示为 门函数的频谱函数 图3 4 1门函数及其频谱 a 门函数 b 门函数的频谱 c 幅度谱 d 相位谱 图4 6矩形脉冲信号及其频谱 矩形脉冲信号g t 的频谱 例4 3求矩形脉冲信号g t 的频谱 4 36 g t 的傅里叶变换为 4 37 4 38 4 39 解矩形脉
4、冲信号g t 是一个如图4 6 a 所示的门函数 其定义为 例3 4 5求单位冲激函数 t 的频谱函数 图3 4 5信号 t 及其频谱 a 单位冲激信号 t b t 的频谱 t 的频谱函数 解 可见 冲激函数 t 的频谱是常数1 也就是说 t 中包含了所有的频率分量 而各频率分量的频谱密度都相等 显然 信号 t 实际上是无法实现的 根据分配函数关于 t 的定义 有 4 34 4 35 冲激信号 t 的频谱 例4 2求冲激信号 t 的频谱 解由频谱函数的定义式有 图4 5冲激信号及其频谱 4 75 移位冲激函数 t t0 的频谱函数 例4 12求移位冲激函数 t t0 的频谱函数 解由于已知冲激
5、函数 t 的频谱函数为1 求移位冲激函数 t t0 的频谱函数 此时可利用傅里叶变换的时移特性式 4 74 例3 4 6求直流信号1的频谱函数 图3 4 6直流信号f t 及其频谱 a 直流信号f t b 频谱 直流信号1的频谱函数 解直流信号1可表示为 4 45 4 46 例4 6求单位直流信号的频谱 解幅度为1的单位直流信号可表示为f t 1 t 4 44 它可以看作是双边指数信号在 取极限趋近0时的一个特例 即 单位直流信号的频谱 4 47 4 48 4 49 图4 9单位直流信号及其频谱 例3 4 7求符号函数Sgn t 的频谱函数 考察例3 4 4所示信号f t 符号函数Sgn t
6、的频谱函数 当 0时 其极限为符号函数Sgn t 因而可以用求f t 的频谱函数F j 当 0的极限的方法来求得Sgn t 的频谱函数 例3 4 4所示信号的频谱函数为 从而有 图3 4 7符号函数Sgn t 及其频谱 a Sgn t 的波形 b 频谱 4 50 符号函数的频谱 例4 7求符号函数的频谱 解符号函数简记为sgn t 它的定义为 图4 10符号函数及其频谱 其中 0 4 51 符号函数sgn t 也可看作是下述函数在 取极限趋近0时的一个特例 例3 4 8求阶跃函数 t 的频谱函数 由阶跃函数 t 的波形容易得到 解 从而就可更为方便地求出 t 的频谱函数 即 阶跃函数 t 的频
7、谱函数 图3 4 8阶跃函数及其频谱 a t 的波形 b 频谱 例3 5 1求图3 5 1 a 所示信号的频谱函数 图3 5 1例3 5 1的图 a f t 的波形 b 相位谱 门 平移后 信号的频谱函数 解 例4 11已知求g 2t 的频谱函数解根据傅里叶变换的尺度变换性质 g 2t 的频谱函数为 尺度变换求频谱 图4 13尺度变换 图4 11单边指数信号及其频谱 例4 9利用奇偶虚实性求图4 11单边指数信号f t 2e tu t 的频谱 利用奇偶虚实性求频谱 解从波形图 a 上可见 单边指数信号f t 是非偶非奇函数 但可分解为如图 b c 所示的偶函数和奇函数两部分 见下式 f t 2
8、e tu t fe t fo t 其中 例3 5 2求高频脉冲信号f t 图3 5 2 a 的频谱 图3 5 2高频脉冲信号及其频谱 a f t 的波形 b 频谱 高频脉冲信号f t 的频谱 解图3 5 2 a 所示高频脉冲信号f t 可以表述为门函数g t 与cos 0t相乘 即 例4 13求高频脉冲信号p t g t cos 0t的频谱函数解由于 高频脉冲信号的频谱函数 故有 根据频移特性有 图4 14频移特性 例3 5 4求图3 5 5 a 所示梯形信号f t 的频谱函数 解若直接按定义求图示信号的频谱 会遇到形如te j t的繁复积分求解问题 而利用时域积分性质 则很容易求解 将f t
9、 求导 得到图3 5 5 b 所示的波形f1 t 将f1 t 再求导 得到图3 5 5 c 所示的f2 t 显然有 梯形信号f t 的频谱函数 图3 5 5梯形信号及其求导的波形 据时移性质有 图3 5 6另一种梯形信号 图4 15梯形脉冲的傅里叶变换 梯形脉冲的傅里叶变换 例4 14求图4 15所示梯形脉冲的傅里叶变换 解梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲f1 t 与f2 t 的卷积 如图4 15所示 f t f1 t f2 t 而矩形脉冲的傅里叶变换已在例4 3中求出 具体来说 图4 16半波正弦脉冲 图4 17三角形脉冲及其一 二街导的波形 例3 6 1求图3 6 1 a 所示周期矩
10、形脉冲f t 的频谱函数F j 图3 6 1周期矩形脉冲信号及其频谱 a f t 的波形 b 复振幅Fn c 频谱函数F j 周期矩形脉冲f t 的频谱函数 解周期矩形脉冲f t 的复振幅Fn为 例3 6 2图3 6 2 a 为周期冲激函数序列 T t 其周期为T T t 可表示为 m为整数 图3 6 2周期冲激序列及其频谱 周期冲激函数序列 T t 的频谱 解先求 T t 的复振幅Fn 设一周期信号fT t 其周期为T fT t 中位于第一个周期的信号若为fa t 则不难得到 已经知道 例3 8 1已知激励信号f t 3e 2t 2 t 试求图3 8 1所示电路中电容电压的零状态响应uCf
11、t 图3 8 1例3 8 1的图 用频域分析法求响应 注意到 的取样性质 并为了较方便地求得UCf j 的逆变换 将UCf j 按如下形式整理 图4 19 例4 20如图4 19所示 试分析单位阶跃信号u t 通过RC高通网络传输后的波形 用频域法求响应 则按H 的定义有 对于单位阶跃信号u t 而言 此时 解显然 当输入信号uS t 为复指数信号ej t时 如图有 最后一步考虑了冲激函数的取样性质 因此 例3 8 2如图3 8 2 a 所示系统 已知乘法器的输入 s t 的波形如图3 8 2 b 所示 系统函数 用频域分析法求响应 图3 8 2例3 8 2图 a 系统组成 b s t 的波形 先求f t 的傅里叶变换F j 由于 再求s t 的傅里叶变换S j 由于s t 为周期信号 T 1ms 则 因而有 图3 8 3y t 的求解 例3 8 3已知系统函数H j 如图3 8 4 a 所示 试求在f t 图3 8 4 b 作用下系统的输出y t 解周期信号f t 可以表示为傅里叶级数 由T 4s可知 考虑到H j 的低通特性 当 n 时H jn 0 即 n 2时H jn 0 则 用频域分析法求响应 图3 8 4例3 8 3图
