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1、材料力学总复习 强度计算 问题 内容 对象 构件 基本变形 组合变形 轴向拉压 剪切 扭转 弯曲 拉压弯 偏心拉压 斜弯曲 弯扭组合 内力计算 内力图 应力计算 强度计算 同基本变形 无 无 无 刚度计算 压杆稳定 压杆分类 稳定计算 临界力计算 临界应力计算 外力分析 结束 一 轴向拉伸与压缩总结 一 轴向拉伸与压缩总结 2 材料拉伸与压缩时的力学性能 1 等截面拉 压 杆横截面上正应力 斜截面上的总应力 正应力 切应力 3 轴向拉伸 压缩时的变形 5 轴向拉伸 压缩的静不定问题 6 剪切和挤压的实用计算 4 拉伸与压缩时的强度条件 拉伸与压缩时的强度条件 最大工作应力材料极限应力 塑性材料
2、 脆性材料 强度条件 n 1安全因数 许用应力 强度校核 设计截面尺寸 确定许用荷载 满足 安全 否则 危险 FN1 10kN 拉力 FN2 50kN 拉力 FN3 5kN 压力 FN4 20kN 拉力 发生在BC段内任一横截面上 例题1一等直杆其受力情况如图所示 作杆的轴力图 例题2一横截面为正方形的砖柱分上 下两段 其受力情况 各段长度及横截面面积如图所示 已知F 50kN 试求荷载引起的最大工作应力 解 1 作轴力图 2 求应力 结论 在柱的下段 其值为1 1MPa 是压应力 例题3图示为一变截面圆杆ABCD 已知F1 20kN F2 35kNF3 35kN l1 l3 300mm l2
3、 400mm d1 12mm d2 16mm d3 24mm 试求 1 III III截面的轴力并作轴力图 2 杆的最大正应力 max 3 B截面的位移及AD杆的变形 2 杆的最大正应力 max AB段 DC段 BC段 max 176 8MPa发生在AB段 3 B截面的位移及AD杆的变形 二 扭转变形 Wt称作抗扭截面系数 单位为mm3或m3 2 的计算 Calculationof max r O T dA dA 二 扭转变形时切应力 1 数学表达式 Mathematicalformula 扭转强度条件 StrengthCondition 1 圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的 扭转变形
4、 Torsionaldeformation 其中d 代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角 长为l的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算 3 刚度条件 Stiffnesscondition 2 单位长度扭转角 Angleoftwistperunitlength 扭转角GIp称作抗扭刚度 称作许可单位长度扭转角 Allowableangleoftwistperunitlength A B C 解 作轴的扭矩图 MeA MeB MeC 分别校核两段轴的强度 例题1图示阶梯圆轴 AB段的直径d1 120mm BC段的直径d2 100mm 扭转力偶矩为MA 22kN m MB 36kN m MC
5、14kN m 已知材料的许用切应力 80MPa 试校核该轴的强度 因此 该轴满足强度要求 例题2图示等直杆 已知直径d 40mm a 400mm 材料的剪切弹性模量G 80GPa DB 1 试求 1 AD杆的最大切应力 2 扭转角 CA 解 画扭矩图 计算外力偶矩Me DB CB DC 1 Tmax 3Me 1 AD杆的最大切应力 2 扭转角 CA 三 梁弯曲变形 最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 则公式改写为 三 梁弯曲时横截面上正应力的计算公式 例题1T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示 铸铁的许用拉应力为 t 30MPa 许用压应力为 c 160MPa 已知截面对形心轴z的惯
6、性矩为Iz 763cm4 y1 52mm 校核梁的强度 解 最大正弯矩在截面C上 最大负弯矩在截面B上 B截面 C截面 四 应力状态及强度理论 最大正应力的方位 1 最大正应力及方位 1 当 x y时 0是 x与 max之间的夹角 2 当 x y时 0是 x与 min之间的夹角 3 当 x y时 0 45 主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下 若约定 0 45 即 0取值在 45 范围内 最大切应力及方位 1 最大切应力的方位 令 相当应力 Equivalentstress 把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r称为复杂应力状态的相当应力 莫尔强度理
7、论 例题1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体 S平面 例题2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体 y x z 例题3简支梁如图所示 已知m m截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 70MPa 50MPa 确定A点的主应力及主平面的方位 解 把从A点处截取的单元体放大如图 因为 x y 所以 0 27 5 与 min对应 例题4图示单元体 已知 x 40MPa y 60MPa xy 50MPa 试求e f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位 解 1 求e f截面上的应力 2 求主应力和主单元体的方位 因为 x y 所以 0 22 5 与 min对应 解 1 求主平面方位 因为 x
8、y 且 x 0 例题5求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位 xy 所以 0 45 与 max对应 2 求主应力 1 2 0 3 例题6从水坝体内某点处取出的单元体如图所示 x 1MPa y 0 4MPa xy 0 2MPa yx 0 2MPa 1 绘出相应的应力圆 2 确定此单元体在 30 和 40 两斜面上的应力 解 1 画应力圆 量取OA x 1 AD xy 0 2 定出D点 OB y 0 4和 BD yx 0 2 定出D 点 以DD 为直径绘出的圆即为应力圆 将半径CD逆时针转动2 60 到半径CE E点的坐标就代表 30 斜截面上的应力 2 确定 30 斜截面上的应力 3 确定 4
9、0 斜截面上的应力 将半径CD顺时针转2 80 到半径CF F点的坐标就代表 40 斜截面上的应力 例题7两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示 梁的横截面尺寸示于图中 试绘出截面C上a b两点处的应力圆 并用应力圆求出这两点处的主应力 解 1 首先计算支反力 并作出梁的剪力图和弯矩图 Mmax MC 80kN m FSmax FC左 200kN 2 横截面C上a点的应力为 a点的单元体如图所示 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 O 3 作应力圆 x 122 5MPa xy 64 6MPa y 0 xy 64 6MPa A1 A2两点的横坐标分别代表a点的两
10、个主应力 1和 3 A1点对应于单元体上 1所在的主平面 4 横截面C上b点的应力 b点的单元体如图所示 b点的三个主应力为 1所在的主平面就是x平面 即梁的横截面C 例题8单元体的应力如图所示 作应力圆 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位 解 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关 依据x截面和y截面上的应力画出应力圆 求另外两个主应力 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 A1 A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1和 3 O 1 46MPa 3 26MPa 该单元体的三个主应力 1 46MPa 2 20MPa
11、 3 26MPa 根据上述主应力 作出三个应力圆 例题10一直径d 20mm的实心圆轴 在轴的的两端加扭矩Me 126N m 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 45 方向的应变 5 0 10 4 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G Me Me A 45 x 解 围绕A点取一单元体 组合变形 拉伸正应力 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为 计算危险点的应力 Calculatingstressofthedangerpoint F2 F2 l 2 l 2 压杆稳定 2 其它支座条件下的欧拉公式 Euler sFormulaforOtherEndConditions 长度因数 相
12、当长度 l 两端铰支 一端固定 另一端铰支 两端固定 一端固定 另一端自由 表9 1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 1 0 7 0 5 2 欧拉公式的统一形式 GeneralEulerBucklingLoadFormula 为压杆的长度因数 为压杆的长度因数 1 欧拉公式的统一形式 GeneralEulerBucklingLoadFormula l为相当长度 2 欧拉公式临界应力 Euler scriticalstress i为压杆横截面对中性轴的惯性半径 则 则 令 令 二 欧拉公式的应用范围 ApplicablerangeforEuler sformula 只有在 cr
13、p的范围内 才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr 临界应力 cr 或 令 即l 1 大柔度压杆或细长压杆 为欧拉公式的适用范围 当 1但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式 此时需用经验公式 1的大小取决于压杆材料的力学性能 例如 对于Q235钢 可取E 206GPa p 200MPa 得 三 常用的经验公式 Theexperimentalformula 式中 a和b是与材料有关的常数 可查表得出 2是对应直线公式的最低线 直线公式 的杆为中柔度杆 其临界应力用经验公式 或 令 四 压杆的分类及临界应力总图 ClassificationofColumnsandtheDiagramofcr
14、iticalstress crversusslendernessratio 1 压杆的分类 ClassificationofColumns 1 大柔度杆 Longcolumns 2 中柔度杆 Intermediatecolumns 3 小柔度杆 Shortcolumns 2 临界应力总图 例题3压杆截面如图所示 两端为柱形铰链约束 若绕y轴失稳可视为两端固定 若绕z轴失稳可视为两端铰支 已知 杆长l 1m 材料的弹性模量E 200GPa p 200MPa 求压杆的临界应力 解 因为 z y 所以压杆绕z轴先失稳 且 z 115 1 用欧拉公式计算临界力 例题3外径D 50mm 内径d 40mm的钢管 两端铰支 材料为Q235钢 承受轴向压力F 试求 1 能用欧拉公式时压杆的最小长度 2 当压杆长度为上述最小长度的3 4时 压杆的临界应力 已知 E 200GPa p 200MPa s 240MPa 用直线公式时 a 304MPa b 1 12MPa 解 1 能用欧拉公式时压杆的最小长度 压杆 1 2 当l 3 4lmin时 Fcr 用直线公式计算
