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1、2 1 2指数函数及其性质 引例1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂x次后 得到的细胞个数y与x的函数表达式是 细胞分裂过程 细胞个数 第一次 第二次 第三次 2 21 8 23 4 22 第x次 细胞个数y关于分裂次数x的表达式为 2x 引例2 某种商品的价格从今年起每年降低15 设原来的价格为1 x年后的价格为y 则y与x的函数关系式 0 85 由上面的对应关系可知 函数关系是 列表 我们从以上两个引例中 抽象得到两个函数 这两个函数有何特点 指数幂形式自变量在指数位置底数是常量 知识要点 指数函数定义 形如y ax a 0 且a 1 的函数叫做指数函数
2、 其中x是自变量 函数的定义域是R 探究1 为什么规定a 0 且a 1 思考 讨论 当a 0时 ax有些会没有意义 如 当a 0时 ax有些会没有意义 如 当a 1时 ax恒等于1 没有研究的必要 结论 a 0 且a 1 探究2 函数是指数函数吗 有些函数貌似指数函数 实际上却不是 指数函数的解析式中 的系数是1 有些函数看起来不像指数函数 实际上却是 形如y ax a 0 且a 1 的函数叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 判断一个函数是指数函数的标准 ax的系数是1 底数a是常量 a 0 且a 1 指数是变量 2 函数y a2 3a 3 ax是指数函数 求a的值 a 2 D 小
3、练习 知识要点 指数函数图像 见下图 函数图象特征 1 函数图象特征 观察右边图象 回答下列问题 问题一 图象分别在哪几个象限 问题二 图象的上升 下降与底数a有联系吗 问题三 图象中有哪些特殊的点 答四个图象都在第 象限 答 当底数 时图象上升 当底数 时图象下降 答 四个图象都经过点 观察右边图象 回答下列问题 问题四 指数函数图像是否具有对称性 问题五 函数与图象有什么关系 结论 y ax与y a x关于y轴对称 指数函数的图象和性质 1 图象全在x轴上方 与x轴无限接近 1 定义域为R 值域为 0 2 图象过定点 0 1 2 当x 0时 y 1 3 自左向右图象逐渐上升 3 自左向右图
4、象逐渐下降 3 在R上是增函数 3 在R上是减函数 4 图象分布在左下和右上两个区域内 4 图象分布在左上和右下两个区域内 4 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 4 当x 0时 01 非奇非偶函数 不关于y轴对称不关于原点中心对称 例1 求下列函数的定义域 解 应用示例 R 例2已知指数函数f x ax a 0 且a 1 的图象经过点 3 求f 0 f 1 f 3 的值 分析 f 0 f 1 f 3 的值 我们需要先求出指数函数f x ax的解析式 也就是要先求a的值 根据函数图像过点 3 这一条件 可以求得底数a的值 解 因为f x ax的图像过点 3 所以f 3 即a3 解得 于
5、是所以f 0 0 1 举例 例3比较下列各题中两个值的大小 解 1 考察指数函数y 1 7x 由于底数1 7 1 所以指数函数在R上是增函数 2 5 3 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 由指数函数的性质知1 70 3 1 70 1 0 93 1 0 90 1 即1 70 3 1 0 93 1 1 1 70 3 0 93 1 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 比较指数大小 常用方法 如下 构造函数法 利用指数函数的单调性 适用于同底不同指 包括可以化为同底的 若底数是参变量需要注意分类讨论 搭桥比较法 用别的数如0或1做桥 适用于不同底不同指 课堂小结 1 指数函数概念 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 方法指导 研究指数函数时 将a分为a 1和0 a 1分别讨论研究 2 指数函数的的图象和性质 方法 利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法 记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像
