《高三数学精准培优专题练习4：恒成立问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学精准培优专题练习4：恒成立问题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、培优点四 恒成立问题1参变分离法例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】，其中，只需要令，在单调递减，在单调递减，2数形结合法例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图像进一步可得只需时，即，所以3最值分析法例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围_【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立，令，只需即可，令（分析的单调性）当时 在单调递减，则(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一
2、小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作用）当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）若，单调性如表所示，（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若，则在上单调递增，符合题意，综上所述：对点增分集训一、选择题1已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，即有，分别作出函数和直线的图象，由直线与曲线相切于原点时，则，解得，由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件即有，解得故选B2已知函数，
3、当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得：，令可得：，且：，据此可知函数在区间上的最小值为，结合恒成立的条件可得：，求解关于的不等式可得实数的取值范围是本题选择C选项3若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】，在内恒成立，所以，由于，所以，所以，故选D4已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故实数的取值范围是故选A5已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】若恒
4、成立，则，所以在单调递减，在单调递增，所以故选D6当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】时，恒成立不等式等价于，设，在单调递减，在单调递增，当时，可知无论为何值，不等式均成立，当时，恒成立不等式等价于，同理设，在单调递增，综上所述：故选C7函数，若存在使得成立，则实数的范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】若存在使得成立，则在内即可，故在上单调递减，故选A8设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】的定义域是，当时，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，解得综上，的取值范围是故选D9若对于任
5、意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时，恒成立，若，为任意实数，恒成立，若时，恒成立，即当时，恒成立，设，则，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，当时，取得最大值为则要使时，恒成立，的取值范围是，故选D10已知函数，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得，故对时，不成立，从而对任意，恒成立，因为，对任意恒成立，如图所示，则必有，计算得出故选B11已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】不等式，即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒
6、成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为本题选择D选项12设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，当，单调递减；当，单调递增，当时，取得最小值如下图所示又，故；，故故当时，满足在直线的下方直线恒过定点且斜率为，要使得有且只有一个整数使得，只需，又，实数的取值范围故选C二、填空题13设函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】法一：如图，因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点），所以即，填法2：由题设有当时，；当时，有恒成立或恒成立，故或即，填14函数，其中，若
7、对任意正数都有，则实数的取值范围为_【答案】【解析】对任意正数都有，即不等式对于恒成立设，则故在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值是，所以的取值范围是15已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以恒成立，即在上恒成立，所以，故实数的取值范围是16已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，解得；当，即时，无意义；当，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需，无解；当，即时，二次函数在区间内
8、单调递减，函数单调递增，无解当时，函数外层单调递增，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：综上所述：或三、解答题17设函数，其中，（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），定义域为，设，当时，函数在为增函数，无极值点当时，若时，函数在为增函数，无极值点若时，设的两个不相等的实数根，且，且，而，则，所以当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增因此此时函数有两个极值点；当时，但，所以当，单调递增；当，单调递减所以函数只有一个极值点综上可知，当时有一个极值点；当时的无极值点；当时，的有两个极值点（2）由（1）可知当时在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，所以函数在单调递减，而，则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意综上所述，的取值范围是18设函数，（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】，注意到，于是再求导得，由于，于是为单调递增函数，时，时，在单调递减，在单调递增（2）若不等式恒成立，则，在连续，在有最大最小值，由（1）可知在单调递减，在单调递增，设，在单调递减，在单调递增，故当时，当时，则上式成立当时，由的单调性，即，当时，即，综上，的取值范围为
