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1、 计量经济模型与经济预测 一 线性回归模型 最小二方程原理和参数估计 a bxyQ y 最小 y a bx 2 最小 对a和b求一阶微分2Q 2A 2 y a bx a 02Q 2B 2 y a bx bx 0 x得 y na b x 0 y na b x 0 xy a x b x2 0 xy a x b x2 0得 a y n b y n b xy x y n x2 x 2 Lxy Lxx回归系数b说明当x变动一个单位时 y平均变动一个b的值 回归误差估计和相关系数估计标准误差 Sy y 2 n 2 y2 a y b xy n 2相关系数 R Lxy LxxLyyLxy xy x y nLx
2、x x2 x 2 nLyy y2 y 2 n 线性回归模型预测 当计算回归模型由大样本计算时 n 30 其预测区间的误差分布服从正态分布 则预测区间为 0 a bx0 Z2 2 Sy当计算回归模型由小样本计算时 n 30 其预测区间的误差分布服从七分布 则预测区间为 0 a bx0 Ta 2 Sy 1 1 n X0 X 2 X X 2 例 解 b 338 4 1 6 23 86 5 95 1 6 23 2 0 998a 86 5 6 0 998 23 6 10 59待线性回归方程 10 59 0 998x即建筑面程每增加一万m2 建造成本要平均增加0 998万元Sy y 2 n 2 0 018
3、1924 6 2 0 2133r Lxy LxxLyy xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 n 0 973预测 假设x0 4 5时 y0 10 59 0 998 4 5 15 081 万元 当n 6 30时 查七分布表ta 2 n 2 t 0 025 4 2 78ta 2 n 2 Sy 1 1 n x0 x 2 x x 2 0 6579所以建造成本的区间预测在显著性水平为a 5 即以95 的概率计算y0 15 081 0 6579 即在 14 4231 15 7389 万元之间 二 非线性回归模型 曲线回归模型 在对客观现象选择回归模型时 应注意 1 回归方程的形式应与经济学的基
4、本理论相一致 应该在定性分析和定量分析的基础上选择适当的回归模型2 回归方程与实际现象的变量值应要有较高的拟合程度 能较好地反映经济实际运行趋势3 在对方程的模型一时无法判断时 可先画散点图 观察现象实际值的变动趋势 来选择相应的拟合回归模型 或者多选择几个回归模型 加以拟合 分别计算估计标准误差 选择估计标准误差最小的那个回归模型4 回归模型的数学形式要尽可能简单 一般说来 数字型式越简单 则基回归模型的可操作性越强 过于复杂的回归模型的数学形式在实际经济分析和经济预测中 其实际应用价值不大 抛物线方程 a bx cx2根据最小二乘法原理 求该方程待定a b c参数的方程组如下 y na b
5、 x c x2y xy a x b x2 c x3 x2y a x2 b x3 C x4x判定某变量趋势是否符合抛物线议程时 可利用差分法 1 当X以一个常数变化时 Y的一阶差分即 Y Yt Yt 1的绝对值也接近一个常数时 该变量的变化可用直线方程来拟合 2 当X从一个常数变化时 Y的二阶差分即 Y2t Yt Yt 1的绝对值接近一个常数时 该变量的变化可用抛物线方程来拟合 抛物线方程 指数曲线方程 该方程常用于拟合某变量值的环比 即Yt Yt 1的绝对值近似于一个常数时 就可用指数曲线方程来拟合 abx对方程两边求对数 lgy lga lgb x换元令lgy Ylga Algb B得 Y
6、A Bx 化成直线方程的形式 求出A B的参数值 再分别求反对数 就可求出a b的参数值 指数曲线因a b的取值不同而表现出不同的变化形式 xxxxyyyy 对数函数曲线 a blnx 令x lnx 把方程变成直线方程的形式 求出a b的参数值 对数函数的特点是随着x的增大 x的单位变动对Y的影响效果递减 S函数曲线 逻辑曲线 1 a be xy换元令y 1 y x e x得y a bx 化成直线方程的形式p可求出a b的参考值 该方程的特点是某变量刚开始时 随着Xx的增加 y的增长速度逐渐增加 IIIIIIIV当y达到一定水平时 其增长速度又放慢 最后超近于一条渐近线 该方程经常用来描述某消
7、费品的生命周期的变化 可将其分为四个阶段 即缓慢增长 快速增长 增速放慢 相对饱和p为一拐点 三 多元回归模型 模型与参数估计 a bx1 cx2 dx3 多元回归就是分析在多个自变量 x 与因变量 y 相互关系的基础上 确定一个多元回归模型 然后根据各个自变量的变动来估计或预测因变量的变动程度 根据最小二乘法原理 以二元回归方程为例 说明求其参数的方法 a bx1 cx2 y na b x1 c x2 x1y a x1 b x12 c x1x2 x2y a x2 b x1x2 c x22 例 根据下表计算二元回归方程 将上述有关数字代入二元回归的方程组 986 7a 3622b 2472c5
8、01415 3622a 1877174b 1281444c341923 2472a 1281444b875116c得 a 5 0657b 1 0072c 1 0698二元回归方程 5 0657 1 0072x1 1 0698x2 多元回归方程的矩阵形式 二元回归方程的矩阵形式表现为 Y XB其中 y11x21 xk1b1y21x22 xk2b2Y X B yn1x2n xknbn按矩阵计算原理 Y XB X Y X XB X X 1 X Y X X 1 X X B B X X 1X Y 例 下表列出某商品销售量 Y 与居民人均收入 x1 和单价 x2 的有关资料 上表中有关数据的矩阵表示为 1
9、5210b1109835X 173Y 10B b2 x x 981038359 35359133115423b31661 6416 0 0839 0 2054 x y 1743 x x 1 0 08390 0188 0 0286592 0 2054 0 02860 13891 6416 0 0839 0 20541664 58751B x x 1 x y 0 08390 0188 0 02861743 1 86847 0 2054 0 02860 1389592 1 79957由此得多元回归方程为 4 58751 1 86847x1 1 79957x2 回归方程的方差估计 Sy2 y 2 n
10、k e2 n k e2 e e Y Y BX Y 2980 4 58751 166 1 86847 1743 1 79957 1 79957 592 27 08 e227 08S S2 n k 10 3 3 8686 1 97S称为回归方程的估计标准误差 S越小则表明样本回归方程的代表性越强 多元回归方程的检验 根据线性方程方差分析的原理 y y 2 y 2 y 2 y y y S总 S回 S残 y y1 回归方程拟合程度检验在回归方程拟合程度检验中 应用可决系数指标来回加以检验 可决系数越大 说明回归方程对实际数值的拟合程度越好R2 y 2 y y 2 S回 S总 1 S残 S总在考虑变量自
11、由度的情况下 修正的可决系数 R2 S回 n k S总 n 1 1 S残 n k S总 n 1 1 27 08 10 3 244 4 10 1 0 84 2 回归系数的显著性检验 在这一检验的目的是为了检验各回归系数对应的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著 以便对各个自变量的选择作出正确的判断 一般说来 当某个自变量 xi 的回归系数 bi 的显著性检验无法通过 则说明该自变量对因变量的影响在一定显著水平 一般a 0 05 不够显著 则就可以将该自变量从回归模型中删除 这样才能以尽可能少的自变量去建立回归模型 达到到尽可能高的拟合度 同时也可减少计算工作量多元回归模型中的回归系数检验采
12、用t检验 公式如下 tbj bj sbjsbj sy2 jj sy jj式中 jj为 x x 1矩阵中的第j个对角线的元素 上例中Sy 1 97 11 1 6416 22 0 0188 33 0 1389则tb1 4 5875 1 97 1 6416 1 82tb2 1 8685 1 97 0 0188 6 92tb3 1 7996 1 97 0 1398 2 45 查t分布表 a 0 05 双侧临界值t a 2 n k t 0 05 2 10 3 2 365 上述tb2 6 92 2 365 tb3 2 45 2 365 说明b1和b2均能通过检验 说明x1和x2对y的影响是显著的 而tb1
13、 1 82 2 365 不能通过检验 说明在建立回归方程时 不必设常数项 由此再根据实际资料 建立拟合的多元回归方程 3 回归方程的显著性检验该检验应用下检验来进行 F S回 k 1 S残 n k 上例中S总 224 4 S残 27 08S回 S总 S残 224 4 27 08 197 32则F 197 32 3 1 27 08 10 3 25 50查F分布表 当a 0 01 自由度为 2 7 时 F2 9 55 当a 0 05 自由度为 2 7 时 Fa 4 74 可知F 25 50都大于Fa 说明该多元回归方程是比较显著的 可以用该方程进行经济预测 设x1 2200元 x2 50元 件时
14、对某商品需求量 y 的预测值为y 4 5875 1 8685 22 1 7996 5 36 70 百件 多元回归方程的多重共线性问题 在多元回归模型中 要求模型中任何自变量之间不存在密切的线性相关关系存在 则说明自变量之间存在多重共线性 1 多重共线性产生的经济背景和原因当人们进行多元回归分析时 涉及的自变量较多 一时很难确定究竟要用哪个自变量来建立多元回归方程 也很难找到一组互不相关而都对因变量有显著影响的自变量 严格地讲 当某一经济现象的变量涉及多个自变量影响因素时 这些自变量的因素大都共有一定的线性相关关系 当其中的某些自变量两两相关关系较强时 就可认为该回归方程存在多重共线性 当人们所
15、研究的问题涉及到时间序列资料时 由于所涉及到的自变量往往随着时间变化 或共同的政策倾向 而表现出共同的变化趋势 从而产生共线性现象 例如人们在研究社会消费水平时 所涉及的影响因素有社会人均GDP水平 城镇居民收入水平 农民平均收入水平 银行储蓄存款余额 消费价格指数等指标 而这些指标之间都可能存在着很强的相关关系 如果从这些指标作为多元回归模型的自变量 该回归模型就存在着多重共线性 对于利用横截面资料建立多元回归模型 也可能存在自变量之间高度相关的问题 例如应用横截面资料建立粮食产量模型 其自变量有农业投资 化肥投入 水利灌溉面积等 其实农业投资已在化肥投入和水利灌溉面积中体现出来了 它们之间
16、存在较强的相关关系 而表现出共线性问题 2 多重共线性带来的问题 当回归模型从矩阵形式表示时y XB 当存在自变量之间的完全多衙共线性时 存在x x 0 x x 1也不存在 矩阵的行列式计算等于0 则B x x 1x y也无法计算 在实际生活中 经常见到的是自变量之间存在近似共线性情况 即x x 0 x x 1的对角线元素较大 从而使得方程估计的精度下降 甚至出现回归系数的经济意义无法解释的可能 3 多重共线性的判断多种共线有各种判断方法 这里举一个简单的判断方法 设自变量有x1 x2 x3 xp 其回归方程为 y f x1 x2 x3 xp 如果这多个自变量中两两自变量 xj 之间存在相关系数很大 则说明这个回归方程可能存在多重共线性问题 这时就要剔除其中的一个自变量或把这两个自变量相加 以求得计算过程的简化 4 对多重共线性问题的消除方法常用的消除多重共线方法有 1 剔除一些不重要的解释变量 或对某些变量进行合并 2 增大样本容量 在实际经济问题的多元回归分析中 如果所搜集的样本数据太少 也容易产生多重共线性问题 3 改变变量的定义形式 对于某些样本变量数据是时间序列资料时 因各变
