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1、一 函数的和 差 积 商的求导法则 二 反函数的导数 三 基本初等函数的导数 四 复合函数的导数 3 3导数的基本公式与运算法则 五 隐函数的导数 六 对数求导法 八 综合举例 七 由参数方程所确定的函数的导数 一 函数的和 差 积 商的求导法则 如果u x v x 都是x的可导函数 则它们的和 差 积 商 分母不为零时 也是x的可导函数 并且 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 特别地 cu x cu x 公式的推广 u1 u2 un u1 u2 un u1u2 un u1 u2 un u1u2 un u1u2 un 二 反函数的导数 设函数y f
2、 x 在点x处有不等于0的导数f x 并且其反函数x f 1 y 在相应点处连续 则 f 1 y 存在 并且 简要证明 这是因为 三 基本初等函数的导数 1 常数的导数 c 0 这是因为 1 c 0 2 幂函数的导数 这是因为 1 c 0 3 指数函数的导数 ax axlna ex ex 这是因为 4 对数函数的导数 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 三角函数的导数 sinx cosx 这是因为 1 c 0 3 ax axlna ex ex 5 三角函数的导数 这是因为 1 c 0 3 ax axlna ex ex 1 c 0 3 ax axlna ex ex 6 反三角函数的
3、导数 这是因为 函数y arcsinx与x siny互为反函数 所以由反函数的求导公式得 5 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx 5 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secx tanx cscx cscx cotx 1 c 0 3 ax axlna ex ex 基本导数公式 课前复习 1 导数的几何意义 切线方程 2 可导与连续的关系 反之不成立 例1 计算下列函数的导数 0 0 1 4 5 6 7 8 2 3 2 e 解 解
4、 例2 解 解 解 解 解 四 复合函数的导数 设u x 在点x处可导 y f u 在对应点u处可导 则复合函数y f x 在点x处也可导 且其导数为 简要证明 推广 设y f u u v v x 则复合函数y x 对x的导数是 四 复合函数的导数 设u x 在点x处可导 y f u 在对应点u处可导 则复合函数y f x 在点x处也可导 且其导数为 因此 因此 四 复合函数的导数 若y f x u x 则 解 设y lnu u sinx 则 例11 求函数y lnsinx的导数 解 例12 求函数y arcsin 3x2 的导数 解 y a x 例10 求函数y a x的导数 a xlna
5、a xlna x 解 解 练习 五 隐函数的导数 显函数 隐函数 解 例15 求由方程y2 2px所确定的隐函数y f x 的导数 将方程两边同时对x求导 得 2yy 2p 解出y 即得 解 将方程两边同时对x求导 得 例16 求由方程y xlny所确定的隐函数y f x 的导数 解出y 即得 解 将方程两边同时对x求导 得 解出y 得 例17 求由方程ey xy所确定的隐函数y的导数 ey y y x y 解 例18 由方程x2 xy y2 4确定y是x的函数 求其曲线上点 2 2 处的切线方程 将方程两边同时对x求导 得 2x y xy 2yy 0 解出y 即得 所求切线的斜率为k y x
6、 2 y 2 1 于是所求切线为y 2 1 x 2 即y x 4 求下列隐函数的导数 1 2 3 练习 六 取对数求导法 将函数y f x 两边取对数 转化为隐函数求导 这种方法称之为 取对数求导法 解 例19 求函数y xx的导数 法一 y xx exlnx xx lnx 1 exlnx lnx 1 将y xx两边取对数 lny xlnx 两边对x求导数 得 于是得y y lnx 1 xx lnx 1 法二 解 先在两边取对数 得 上式两边对x求导 得 例20 思考 具有什么特征的显函数用对数求导法较好 1 幂指函数2 多个因子相乘除的函数 练习 求下列函数的导数 2 对数求导法适用的函数类
7、型 方法 课前复习 隐函数求导法 1 方法 2 特别要注意的地方 七 由参数方程所确定的函数的导数 设x t 有连续反函数t 1 x 又 t 与 t 存在 且 t 0 则 解 解 例21 练习 八 综合举例 例22 y 3x x3 33 xx 求y 证 所以y a y a 例23 例24 已知f u 可导 求 f lnx f x a n 及 f x a n f x a n f x a n n x a n 1 x a n x a n 1f x a n f x a n x a n f x a n n f x a n 1 f x a n f x a n 1 f x a x a n f x a n 1 f x a 例25 解 当x 0时 当0 x 1时 f x 1 f x 2 在x 0处f x 不连续 故f 0 不存在 在x 1处 有 故f 1 2 当x 1时 f x 2x 例26 例27 设球半径R以2厘米 秒的速度等速增加 求当球半径R 10厘米时 其体积V增加的速度 答 当R 10厘米时 体积V的增加速度为800 厘米 3 秒
