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1、二圆锥曲线的参数方程课后篇巩固探究A组1.圆锥曲线x=t2,y=2t(t为参数)的焦点坐标是()A.12,0B.(1,0)C.(0,1)D.0,12解析曲线的普通方程为y2=4x,这是抛物线,故焦点坐标为(1,0).答案B2.双曲线x=23tan,y=6sec(为参数)的两个焦点坐标是()A.(0,-43),(0,43)B.(-43,0),(43,0)C.(0,-3),(0,3)D.(-3,0),(3,0)解析双曲线的普通方程为y236-x212=1,因此其焦点在y轴上,c=36+12=43,故焦点坐标为(0,-43)和(0,43).答案A3.已知椭圆x=acos,y=bsin(ab0,为参数
2、),若0,2),则椭圆上的点(-a,0)对应的为()A.B.2C.2D.32答案A4.双曲线x225-y216=1的参数方程是()A.x=25sec,y=16tan(为参数)B.x=10sec,y=8tan(为参数)C.x=5sec,y=4tan(为参数)D.x=4sec,y=5tan(为参数)答案C5.若抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的参数方程是()A.x=-4t2,y=-4t(t为参数)B.x=4t2,y=4t(t为参数)C.x=-8t2,y=-8t(t为参数)D.x=8t2,y=8t(t为参数)解析由于抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,故p=4,抛物线的普通方程为
3、y2=8x(x0).根据x0,排除A,C;再根据y2x=8,排除B.故选D.答案D6.二次曲线x=5cos,y=3sin(为参数)的左焦点的坐标是.解析该方程表示焦点在x轴上的椭圆,且a=5,b=3,故c=4,因此左焦点的坐标为(-4,0).答案(-4,0)7.导学号73574043若点M(x,y)在椭圆x212+y24=1上,则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为,此时点M的坐标是.解析椭圆的参数方程为x=23cos,y=2sin(为参数),设点M的坐标为(23cos ,2sin ),则点M到直线x+y-4=0的距离d=|23cos+2sin-4|2=4sin+3-42.当+3=32时,
4、dmax=42.此时,点M的坐标为(-3,-1).答案42(-3,-1)8.已知双曲线x=3tan,y=sec(为参数),则它的两条渐近线所成的锐角的度数是.解析因为x=3tan,y=sec,所以x3=tan,y=sec,2-2,得y2-x23=1,其渐近线方程为y=33x,故两条渐近线所成的锐角的度数是60.答案609.求以椭圆x225+y216=1的焦点为焦点,以直线x=2t,y=4t(t为参数)为渐近线的双曲线的参数方程.解椭圆x225+y216=1的焦点坐标为(25-16,0),(-25-16,0),即为(3,0),(-3,0),则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=1(a,b0),
5、直线x=2t,y=4t(t为参数),即为直线y=22x,所以ba=22.由题意得,c=3,a2+b2=32,所以a=1,b=22.故双曲线的标准方程为x2-y28=1.因为sec2-tan2=1,所以双曲线的参数方程为x=sec,y=22tan(为参数).10.导学号73574044椭圆x29+y24=1上一动点P(x,y)与定点A(a,0)(0a3)之间的距离的最小值为1,求a的值.解设动点P(3cos ,2sin )(为参数),则|PA|2=(3cos -a)2+4sin2=5cos-35a2-45a2+4.因为0a3,所以035a95,于是若035a1,则当cos =35a时,|PA|m
6、in=-45a2+4=1,得a=152(舍去);若135a95,则当cos =1时,由|PA|min=a2-6a+9=1,得|a-3|=1,所以a=2,故满足要求的a值为2.11.导学号73574045已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.解椭圆的参数方程为x=3cos,y=2sin(为参数).设点P的坐标为(3cos ,2sin ),其中00)有一个公共点在x轴上,则a=.解析将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解.x=t+1,y=1-2t,消去参数t,得2x+y-3=0.又x=asin,y=3cos,消去参数,得
7、x2a2+y29=1.在方程2x+y-3=0中,令y=0,得x=32.将32,0代入x2a2+y29=1,得94a2=1.又a0,a=32.答案324.对任意实数,直线y=x+b与椭圆x=2cos,y=4sin(00)上异于原点的两个动点,且OAOB于点O,求当点A,B在什么位置时,AOB的面积最小,最小值是多少?解根据题意设点A,B的坐标分别为A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2)(t1t2,且t1t20),则|OA|=(2pt12)2+(2pt1)2=2p|t1|t12+1,|OB|=(2pt22)2+(2pt2)2=2p|t2|t22+1.因为OAOB,所以OAOB=0,即2pt122pt22+2pt12pt2=0,所以t1t2=-1.AOB的面积为SAOB=12|OA|OB|=122p|t1|t12+12p|t2|t22+1=2p2|t1t2|(t12+1)(t22+1)=2p2t12+t22+2=2p2t12+1t12+22p22+2=4p2,当且仅当t12=1t12,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,AOB的面积最小,最小值为4p2.
