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1、2015 2016 学年辽宁省部分示范性重点高中高三 上 期末数学试卷 文科 一 选择题 每小题5 分 共 60 分 1 若集合A x x 2 1 0 B x 丨 0 x 4 则 A B 等于 A x 0 x l B x l x l C x 1 x 4 D x l x 4 2 设 i 为虚数单位 复数z i 5 i 在平面内对应的点的坐标为 A 1 5 B l 5 C 1 5 D 1 5 3 抛物线y x 2 的准线方程为 A x B x C y D y 4 如图 在半径为1 的半圆内 放置一个边长为的正方形ABCD 向半圆内任取一点 则该 点落在正方形内的槪率为 A B C D 5 等比数列
2、 an 中 a1 a2 4 a2 a3 12 则 a3与 a4的等差中项为 A 6 B 12 C 9 D 18 6 如果实数x y 满足条件 則 z 3x 2y 的最小值为 A 4 B 2 C 1 D 2 7 某棱锥的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 1 B 2 C D 3 8 执行如图所示的程序框图 输出S的值为 A 10 B 6 C 3 D 12 9 设向量 2sinx 1 3 4 x 0 当 取最大值时 向量在 方向上的投影为 A B 或 2 C D 或 2 10 设 P是焦距为6 的双曲线C 1 a 0 b 0 右支上一点 双曲线C的一条渐 近线与圆 x 3 2 y2 5 相切
3、若 P到两焦点距离之和为 8 则 P到两焦点距离之积为 A 6 B 6 C 10 D 12 11 已知函数f x 2sin x 在区间 0 上存在唯一一个x0 0 使得 f x0 1 则 A 的最小值为B 的最小值为 C 的最大值为D 的最大值为 12 设函数f x log x 2 1 则不等式f log2x f logx 2 的解集 为 A 0 2 B C B C 解得 x 故选 B 点评 本题主要考查了对数型复合函数的性质 涉及奇偶性和单调性的判断及应用 属于 中档题 二 填空题 每小题5 分 共 20 分 13 已知函数f x 则 f f 4 7 考点 函数的值 专题 计算题 转化思想
4、综合法 函数的性质及应用 分析 利用分段函数性质求解 解答 解 函数f x f 4 log24 2 f f 4 f 2 2 9 7 故答案为 7 点评 本题考查函数值的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意函数性质的合理运用 14 设函数f x 4x 2 lnx 且 f m 0 则 m 考点 导数的运算 专题 方程思想 定义法 导数的概念及应用 分析 求函数的导数 解导数方程即可 解答 解 函数的导数为f x 8x 则由 f m 0得 8m 0 得 8m 2 1 得 m 函数的定义域为 0 m 0 则 m 故答案为 点评 本题主要考查导数的计算 要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式 比较基础 1
5、5 长 宽 高分別为2 1 2 的长方体的每个顶点都在同一个球面上 则该球的表面积为 9 考点 球内接多面体 球的体积和表面积 专题 计算题 方程思想 综合法 立体几何 分析 先求长方体的对角线的长度 就是球的直径 然后求出它的表面积 解答 解 长方体的体对角线的长是 3 球的半径是 这个球的表面积 4 9 故答案为 9 点评 本题考查球的内接体 球的表面积 考查空间想象能力 是基础题 16 已知 S为数列 an 的前 n项和 若an 4 cosn n 2 cosn 則 S20 122 考点 数列的求和 专题 计算题 分类讨论 综合法 等差数列与等比数列 分析 分n 为奇数 偶数求出各自的通项
6、公式 进而利用等差数列的求和公式计算即得结 论 解答 解 当n 2k 1 时 cosn 1 3an 3n 即 an n 当 n 2k 2 时 cosn 1 5an n 即 an n S2n 1 3 5 2n 1 2 4 6 2n S20 122 故答案为 122 点评 本题考查数列的求和 考查分类讨论的思想 注意解题方法的积累 属于中档题 三 解答题 本题共5 小题 共70 分 17 在 ABC中 角 A B C的对边分別a b c 且 3csinA bsinC 1 求的值 2 若 ABC的面积为3 且 C 60 求 c 的值 考点 余弦定理 正弦定理 专题 方程思想 综合法 解三角形 分析
7、1 由题意正弦定理可得3sinCsinA sinBsinC 约掉 sinC 可得 3sinA sinB 可得 3 2 由三角形的面积公式和 1 可得 a 2 且 b 6 再由余弦定理可得c 值 解答 解 1 在 ABC中 角 A B C的对边分別a b c 且 3csinA bsinC 由正弦定理可得3sinCsinA sinBsinC 3sinA sinB 3 2 由题意可得 ABC 的面积为 S absinC a 2 3 解得 a 2 故 b 3a 6 由余弦定理可得c 2 a2 3a 2 2a 3a 7a 2 28 c 2 点评 本题考查正余弦定理解三角形 涉及三角形的面积公式 属基础题
8、 18 某车间将10 名技工平均分为甲 乙两组来加工某种零件 在单位时间内每个技工加工零 件若干个 其中合格零件的个数如表 1 号2 号3 号4 号5 号 甲组4 5 7 9 10 乙组5 6 7 8 9 1 分别求出甲 乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差 并由此分析两组 技工的技术水平 2 评审组从该车间甲 乙两组中各随机抽取1 名技工 对其加工的零件进行检测 若两人 完成合格零件个数之和超过14 件 则称该车间 生产率高效 求该车间 生产率高效 的 概率 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分析 先分别求出 和 S甲 2 S乙 2 由此能够比较两组员工的业务水平 记
9、优秀团队 为事件A 从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25 种 事件A包含的基本事件共11 种 由此能求出 优秀团队 的概率 解答 解 依题意 4 5 7 9 10 7 5 6 7 8 9 S 5 2 S 2 S甲 2 S乙 2 两组员工的总体水平相同 甲组员工的业务水平差异比乙组大 记 优秀团队 为事件A 则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 25 种
10、事件 A包含的基本事件为 7 8 7 9 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 11 种 P A 点评 本题考查平均数 方差的求法 考查古典概率的求法 解题时要认真审题 仔细解 答 注意列举法的合理运用 19 在四梭推 P ABCD中 CD 平面PAD AB CD CD 4AB AC PA M为线段 CP上一点 1 求证 平面ACD 平面 PAM 2 若 PM PC 求证 MB 平面PAD 考点 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 专题 数形结合 数形结合法 空间位置关系与距离 分析 1 由 CD 平面 PAD得 PA CD 结合PA A
11、C 得 PA 平面 ACD 故平面ACD 平面 PAM 2 在 PD上取点 E 使得 PE PD 连结 ME AE 可得 ME CD ME CD 因为 AB CD AB CD 所以 AB与 ME平行且相等 推出四边形ABME 是平行四边形 故MB AE 所以MB 平面 PAD 解答 证明 1 CD 平面PAD PA 平面 PAD CD PA 又 AC PA CD AC C PA 平面ACD PA 平面 PAM 平面 ACD 平面PAM 2 在 PD上取点 E 使得 PE PD 连结 ME AE PM PC ME CD ME CD 又 AB CD AB CD ME AB ME AB 四边形ABM
12、E 是平行四边形 MB AE 又 AE 平面 PAD MB 平面 PAD MB 平面PAD 点评 本题考查了线面垂直 线面平行的判定 属于基础题 20 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且短轴长为2 O为坐标原点 1 求椭圆的标准方程 2 设直线l y kx 与椭圆交于A B两点 且 求 k 的值 考点 椭圆的简单性质 专题 方程思想 分析法 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 短轴的长求得b 进而根据离心率求得a 和 c 的关系 则a 和 b 的关系可求得 最后根据b 求得 a 则椭圆的方程可得 2 设出 A B的坐标 把直线与椭圆方程联立消去y 根据韦达定理表示出x1 x2和 x1x
13、2 由 直线方程和韦达定理 可得y1y2 进而根据斜率的数量积的坐标表示和 得 k 的关系 式 解方程可得k 的值 解答 解 1 短轴长2b 2 即 b 1 e 又 a 2 b2 c2 所以 a b 1 所以椭圆的方程为 y 2 1 2 由直线l 的方程为y kx 设 A x1 y1 B x2 y2 由 消去 y 得 1 2k 2 x 2 4 kx 2 0 由直线与椭圆有两个不同的交点 即有 0 即 32k 2 8 1 2k2 0 解得 k 2 又 x1 x2 x1x2 y1y2 kx1 kx2 k 2x 1x2 k x1 x2 2 则 x1x2 y1y2 解得 k 1 点评 不同考查椭圆的方
14、程的求法 注意运用离心率公式和a b c 的关系 考查直线的 斜率的求法 注意联立直线方程和椭圆方程 运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示 考 查化简运算能力 属于中档题 21 已知函数f x x 3 kx2 k k R 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线的斜率为12 求函数f x 的极值 2 设 k 0 g x f x 求 F x g x 2 在区间 0 上的最小值 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 函数思想 分类法 导数的概念及应用 导数的综合应用 分析 1 求出 f x 的导数 求得切线的斜率 解方程可得k 4 由导数大于0 可得增
15、区间 导数小于0 可得减区间 进而得到极值 2 求出 g x 和 F x 的解析式 令t x 2 0 2 可得 F x h t t2 kt t 2 k 0 t 0 讨论对称轴和区间的关系 结合单调性 即可得到所求最小值 解答 解 1 函数 f x x 3 kx 2 k 的导数为 f x x2 kx 由题意可得f 2 4 2k 12 解得 k 4 即有 f x x 3 2x2 4 f x x2 4x 当 x 0 或 x 4 时 f x 0 f x 递增 当 4 x 0 时 f x 0 f x 递减 可得 f x 的极小值为f 0 4 f x 的极大值为f 4 2 F x x 4 kx2 t x2
16、 0 2 可得 F x h t t 2 kt t 2 k 0 t 0 当 4 k 0 时 0 2 h t min h 当 k 4 时 2 h t 在 0 2 递减 h t min h 2 4 2k 综上可得 h t min 点评 本题考查导数的运用 求切线的斜率和单调区间 极值 考查可化为二次函数的最 值的求法 注意运用换元法和分类讨论的思想方法 属于中档题 选做题 请考生在第22 23 24 三题中任选一题作答 如果多做 择按所做的第一题计分 选修 4 1 几何证明选讲 22 如图 ABO三边上的点C D E都在 O 上 已知AB DE AC CB l 求证 直线AB与 O 相切 2 若 AD 2 且 tan ACD 求 AO的长 考点 与圆有关的比例线段 圆的切线的判定定理的证明 专题 证明题 选作题 转化思想 综合法 推理和证明 分析 1 连结 OC OC AB 推导出OA OB OC AB 由此能证明直线AB与 O 相切 2 延长 DO交 O 于点 F 连结 FC 由弦切角定理得 ACD AFC 从而 由此能求 出 AO的长 解答 证明 1 AB DE 又 OD OE OA O
