《2020高考数学艺考生冲刺第七章概率与统计第22讲离散型随机变量的分布列、均值与方差（理）课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学艺考生冲刺第七章概率与统计第22讲离散型随机变量的分布列、均值与方差（理）课件（109页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第22讲离散型随机变量的分布列 均值与方差 理 1 离散型随机变量的分布列 1 定义 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表 称为离散型随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列 有时为了表达简单 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 2 性质 pi 0 i 1 2 n 2 离散型随机变量X的均值与方差 3 均值与方差的性质 1 E aX b aE X b a b为常数 2 D aX b a2D X a b为常数 4 条件概率与事件的相互独立 1 定义 设A B为两个事件 如果P AB P A
2、 P B 则称事件A与事件B相互独立 2 性质 若事件A与B相互独立 则P B A P B P A B P A P AB P A P B 3 条件概率 5 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 Ai i 1 2 n 表示第i次试验结果 则P A1A2A3 An P A1 P A2 P An 2 二项分布在n次独立重复试验中 用X表示事件A发生的次数 设每次试验中事件A发生的概率是p 此时称随机变量X服从二项分布 记作X B n p 并称p为成功概率 在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为P X k pk 1 p n k k 0 1
3、2 n 3 二项分布的均值与方差若随机变量X服从参数为n p的二项分布 即X B n p 则E X np D X np 1 p 6 超几何分布 1 定义 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品 则 变量X的分布列具有下表形式 则称随机变量X服从超几何分布 2 均值 7 正态曲线的特点 1 曲线位于x轴上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 当 一定时 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 注意 正态分布的三个常用数据
4、 1 P X 0 6827 2 P 2 X 2 0 9545 3 P 3 X 3 0 9973 题型一离散型随机变量的分布列的性质与均值 例1 1 设离散型随机变量X的分布列为 求2X 1的分布列 解析 由分布列的性质知 0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 解得m 0 3 首先列表为 从而2X 1的分布列为 例1 2 2017 山东卷 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有6名男志愿者A1 A2 A3 A
5、4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 另5人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 2 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求X的分布列与数学期望E X 解析 1 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M 因此X的分布列为 X的数学期望是E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4 规律方法 1 离散型随机变量分布列性质的应用 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值 此时要注意检验 以保证每个概率值均为非负 若X为随机变量 则2X 1仍然为随机变
6、量 求其分布列时可先求出相应的随机变量的值 再根据对应的概率写出分布列 2 求离散型随机变量X的均值的方法 理解X的意义 写出X可能取的全部值 求X取每个值的概率 写出X的分布列 由均值的定义求E X 变式训练一1 随机变量X的分布列如下 其中a b c成等差数列 则P X 1 公差d的取值范围是 解析 因为a b c成等差数列 所以2b a c 2 某射击运动员在一次射击比赛中所得环数 的分布列如下 已知 的均值E 4 3 则y的值为 A 0 6B 0 4C 0 2D 0 1 C 解析 由题意知 x 0 1 0 3 y 1 又E 3x 4 0 1 5 0 3 6y 4 3 两式联立解得y 0
7、 2 3 根据某电子商务平台的调查统计显示 参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示 1 已知 30 40 40 50 50 60 三个年龄段的上网购物者人数成等差数列 求a b的值 2 该电子商务平台将年龄在 30 50 之间的人群定义为高消费人群 其他年龄段的人群定义为潜在消费人群 为了鼓励潜在消费人群的消费 该平台决定发放代金券 高消费人群每人发放50元的代金券 潜在消费人群每人发放100元的代金券 现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人 并在这10人中随机抽取3人进行回访 求此3人获得代金券总和X的分布列与数学期望 解得a 0 035 b 0 025
8、2 利用分层抽样从样本中抽取10人 其中属于高消费人群的有6人 属于潜在消费人群的有4人 从中抽取3人 并计算3人所获得代金券的总和X 则X的所有可能取值为 150 200 250 300 题型二离散型随机变量的均值与方差的应用 例2 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中
9、的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 解析 1 设顾客所获的奖励额为X元 即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E X 20 0 5 60 0 5 40 元 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案
10、 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为X1元 则X1的分布列为 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求 但方案2奖励额的方差比方案1的小 所以应该选择方案2 规律方法 利用均值与方差解决实际问题的方法 1 对实际问题进行具体分析 将实际问题转化为数学问题 并将问题中的随机变量设
11、出来 2 依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件 求出其相应的概率 3 依据期望与方差的定义 公式求出相应的期望与方差值 4 依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释 变式训练二 2017 北京卷 为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组各50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示未服药者 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中A B C D四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望E 3 试判断这10
12、0名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 只需写出结论 解 1 由图知 在服药的50名患者中 指标y的值小于60的有15人 2 由图知 A B C D四人中 指标x的值大于1 7的有2人 A和C 所以 的所有可能取值为0 1 2 3 在这100名患者中 服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 题型三条件概率与相互独立事件 例3 1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件A 取到的2个数之和为偶数 事件B 取到的2个数均为偶数 则P B A 2 某校组织由5名学生参加的演讲比赛 采用抽签法决定演讲顺序 在 学生A和B都不是第一个出场 B不是最后一个出
13、场 的前提下 学生C第一个出场的概率为 3 2019 运城模拟 有一批种子的发芽率为0 9 出芽后的幼苗成活率为0 8 在这批种子中 随机抽取一粒 则这粒种子能成长为幼苗的概率为 法二 事件A包括的基本事件 1 3 1 5 3 5 2 4 共4个 事件AB发生的结果只有 2 4 一种情形 即n AB 1 3 设 种子发芽 为事件A 种子成长为幼苗 为事件AB 发芽 又成活为幼苗 出芽后的幼苗成活率为P B A 0 8 P A 0 9 根据条件概率公式得P AB P B A P A 0 8 0 9 0 72 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0 72 答案 1 B 2 A 3 0 72 规律方法 例
14、3 2 某乒乓球俱乐部派甲 乙 丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛 本次选拔赛只有出线和未出线两种情况 规定一名运动员出线记1分 未出线记0分 1 求在这次选拔赛中 这三名运动员至少有一名出线的概率 2 记在这次选拔赛中 甲 乙 丙三名运动员的得分之和为随机变量 求随机变量 的分布列 解 1 记 甲出线 为事件A 乙出线 为事件B 丙出线 为事件C 甲 乙 丙至少有一名出线 为事件D 规律方法 1 求复杂事件的概率 要正确分析复杂事件的构成 先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件 再求概率 2 求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立
15、事件的概率乘法公式直接求解 直接计算较烦琐或难以入手时 可从其对立事件入手计算 变式训练三设某人有5发子弹 他向某一目标射击时 每发子弹命中目标的概率为 若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击 否则将子弹打完 1 求他前两发子弹只命中一发的概率 2 求他所耗用的子弹数X的分布列 解 记 第k发子弹命中目标 为事件Ak k 1 2 3 4 5 2 X的所有可能取值为2 3 4 5 题型四超几何分布与二项分布 例4 1 PM2 5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2 5微米的可入肺颗粒物 根据现行国家标准GB3095 2012 PM2 5日均值在35微克 立方米以下空气质量为一级 在
16、35微克 立方米 75微克 立方米之间空气质量为二级 在75微克 立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2017年全年每天的PM2 5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本 监测值频数如下表所示 1 从这10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 求恰有一天空气质量达到一级的概率 2 从这10天的数据中任取3天数据 记 表示抽到PM2 5监测数据超标的天数 求 的分布列 解 1 记 从10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 恰有一天空气质量达 2 依据条件知 服从超几何分布 其中N 10 M 3 n 3 且随机变量 的可能取值为0 1 2 3 故 的分布列为 规律方法 求超几何分布的分布列的步骤 例4 2 2019 佛山模拟 某企业对新扩建的厂区进行绿化 移栽了银杏 垂柳两种 不影响 1 求两种大树各成活1株的概率 2 设 为两种大树成活的株数之和 求随机变量 的分布列 解 1 记 银杏大树成活1株 为事件A 垂柳大树成活1株 为事件B 则 两种大树各成活1株 为事件AB 2 由题意知 的所有可能取值为0 1 2 3 4 所以 的分布列为 规律方法 独立重复试验与二
