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1、高三自评试题 数学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用2B铅笔和 0 5 毫米黑色签字笔 中性笔 将姓名 准 考证号 考试科目 试卷类型填涂在答题卡规定的位置上 2 第 卷每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试题卷上 3 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔 中性笔 作答 答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应的位置 不能写在试题卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用涂改液 胶带纸 修正带
2、不按以上要求作答的答 案无效 参考公式 锥体的体积公式为 1 3 VSh 其中 S为锥体的底面积 h为锥体的高 第 卷 选择题共 60 分 一 选择题 本大题共12小题 每小题 5分 共 60分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 3Mm 2 2730 NxxxxZ 如果 MNI 则m等于 A 1 B 2 C 2或 1 D 3 2 2 设复数 2 1z i 其中 i 为虚数单位 则 2 3zz的虚部为 A 2i B 0 C 10 D 2 3 4a 是 对任意的实数x 2123xxa成立 的 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既非充分也
3、非必要条件 4 已知函数 2 log 0 91 0 x x x f x x 则 3 1 1 log 2 fff的值是 A 7 B 2 C 5 D 3 5 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 有下列四个命题 若 m n 则 mn 若 m m 则 若 n n m 则m 若 m 则m 其中错误 命题的序号是 A B C D 6 执行如图所示的程序框图 若输出的b 的值 为 31 则图中判断框内 处应填 A 3B 4C 5D 6 7 函数 2 95yx的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列 则 以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A 3 4 B 2 C 3D 5 8 以下正确命题的个
4、数为 命题 存在Rx 2 20 xx 的否定是 不存在Rx 2 20 xx 函数 1 3 1 2 x f xx的零点在区间 1 1 3 2 内 已知随机变量服从正态分布 2 1 N 4 0 79P 则 2 0 21P 函数 xx f xee的图象的切线的斜率的最大值是2 线性回归直线 ybxa 恒过样本中心 x y 且至少过一个样本点 A 1B 2 C 3D 4 9 设 2 2 1 3 4 0 axdx 则二项式 26 a x x 展开式中不含 3 x项的系数和是 A 160 B 160 C 161 D 161 开始 结束 1 1ab a 21bb 1aa 输出b 是 否 10 已知函数 1
5、cos 22 2 f xxx x 0 1 sin 2 x 0 2 2 x 那么下面命 题中真命题的序号是 f x的最大值为 0 f x f x的最小值为 0 f x f x在 0 2 x上是增函数 f x在 0 2 x上是增函数 A B C D 11 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这个几何体的 A 外接球的半径为 3 3 B 体积为3 C 表面积为 631 D 外接球的表面积为 16 3 12 已知直线1yk x与抛物线 2 4Cyx相交于 A B 两点 F 为抛物线 C 的焦点 若2FAFB 则 k A 2 2 3 B 2 3 C 1 3 D 2 3 第 卷 非选择
6、题共 90分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 若tan2 则sincos 14 已知直线 yxa与圆 22 4xy交于 A B两点 且0OA OB uu u r u uu r 其中 O为坐 标原点 则正实数a的值为 15 设x y 满足约束条件 360 20 0 0 xy xy xy 则目标函数 22 zxy的最大值为 x 1 0 4 5 3 11 1 正视图侧视图 俯视图 A B C 1 A 1 B 1 C 16 已知函数fx 的定义域为1 5 部分对 应 值 如 下 表 fx 的 导 函 数yfx的 图象如图所示 下列关于 fx 的命题 函数 fx 的极大
7、值点为 0 4 函数 fx 在 0 2 上是减函数 如果当1x t 时 fx 的最大值是 2 那么 t的 最大值为 4 当 12a时 函数 yfxa 有 4个零点 函数 yfxa 的零点个数可能为0 1 2 3 4 个 其中正确命题的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程 或演算步骤 17 本小题满分12 分 已知向量 cos sin sin3 sinxxnxxm 设函数 nmxf 若函数 xg的图象与 xf的图象关于坐标原点对称 求函数 xg在区间 6 4 上的最大值 并求出此时x的值 在ABC中 cba 分别是角CBA 的对边 A为锐角
8、若 2 3 AgAf 7cb ABC的面积为32 求边a的长 18 本小题满分 12 分 如图 在多面体 111 ABCA B C中 四边形 11 ABB A是 正 方 形 1ACAB 11 ACA BBC fx 1 2 2 1 11 B CBC 11 1 2 B CBC 求证 1 AB面 11 AC C 求二面角 11 CACB的余弦值的大小 19 本小题满分 12 分 甲居住在城镇的A处 准备开车到单位B处上班 若该地 各路段发生堵车事件都是相互独立的 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次 发生堵车事件的概率如图 例如 A C D 算作两个路段 路段AC 发生堵车事 件的概率为 10 1
9、路段 CD 发生堵车事件的概率为 15 1 且 甲在每个路段只能按箭头指的方向前进 请你为其选择一条由A到 B 的路线 使得途中发 生堵车事件的概率最小 若记路线A C F B中遇到堵车次数为随 机变量 求的分布列及E 20 本小题满分 12 分 已知集合 21 NAx xnn 63 NBx xnn 设 n S是等差数列 n a的前n项和 若 n a的任一项BAan 且首项 1 a是 ABI中 的最大数 10 750300S 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 1392 2 n an n b 令 n T 2462 24 n bbbbL 试比较 n T 与 48 21 n n 的大小
10、21 本小题满分 12 分 已知函数 2 3 23 2 fxlnxx 求函数 yfx 的极大值 令 23 1 2 g xfxxmx m为实常数 试判断函数 g x 的单调性 若对任意 1 1 6 3 x 不等式30aln xlnfxx均成立 求实数 a的 取值范围 A B CD EF 1 5 1 6 1 10 1 12 1 15 1 20 3 20 22 本小题满分 14分 已知椭圆 1 C 抛物线2C的焦点均在x轴上 1 C的中心和2C 的 顶 点 均 为坐标原点 O 从 每 条 曲 线 上各取两个点 将 其 坐 标 记 录于表中 求 12 CC 的标准方 程 请问是否存在直线 l 同时满足
11、条件 过 2 C的焦点 F 与 1 C交于不同 两点Q R 且满足OQOR uu u ru uu r 若存在 求出直线l 的方程 若不存在 请说明理 由 已知椭圆 1 C的左顶点为 A 过 A作两条互相垂直的弦AM AN 分别另交椭 圆于 M N 两点 当直线 AM 的斜率变化时 直线 MN 是否过x轴上的一定点 若 过定点 请给出证明 并求出该定点坐标 若不过定点 请说明理由 高三自评试题 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共12小题 每小题 5分 共 60分 C D B A B B D C C A D A 二 填空题 本大题共4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 2
12、 5 14 2 15 52 16 x3 242 y 2 304 2 2 三 解答题 本大题共6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过 程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 解 由题意得 2 1cos23 sin3sincossin 2 22 x f xxxxx 1 sin 2 26 x 2 分 所以 6 2sin 2 1 xxg 3 分 因为 6 4 x 所以 6 3 2 6 2x 所以当 26 2x即 6 x时 函数 xg在区间 6 4 上的最大值为 2 1 6 分 由 2 3 AgAf得 2 3 6 2sin 6 2sin 1AA 化简得 2 1 2cos A 又因为
13、0 2 A 解得 3 A 9 分 由题意知 32sin 2 1 AbcS ABC 解得8bc 又7cb 所以 2222 2cos 2 1cos abcbcAbcbcA 1 4928 1 25 2 故所求边a的长为 5 12 分 18 本小题满分 12 分 1 A 1 B 1 C AB C E z x y 解 取 BC的中点 E 连结 AE 1 C E 1 B E Q 11 B CBC 11 B C 1 2 BC 1111 B CEC B CEC 四边形 11 CEB C为平行四边形 从而 11 B EC C Q 1 C C面 11 AC C 1 B E面 11 AC C 1 B E面 11 A
14、C C 2 分 Q 11 B CBC 11 B C 1 2 BC 1111 B CBE B CBE 四边形 11 BBC E为平行四边形 11 B BC E 且 1 B B 1 C E 又Q 11 ABB A是正方形 11 A AC E 且 1 A A 1 C E 故 11 AEC A为平行四边形 11 AEAC Q 11 AC面 11 AC C AE面 11 AC C AE面 11 AC C 4 分 Q 1 AEB EEI 面 1 B AE面 11 AC C Q 1 AB面 1 B AE 1 AB面 11 AC C 6 分 Q四 边 形 11 ABB A为 正 方 形 1 1A AABAC
15、1 A AAB 1 2AB Q 11 ACA B 1 2AC 由勾股定理可得 1 90A AC o 1 A AAC QABACAI 1 A A面 ABC Q 11 ACA BBC 2BC 由勾股定理可得 90BAC o ABAC 8 分 故以 A为原点 以 AC 为x轴建立坐标系如图 则 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 CAC 0 1 0 B 所以 1 1 0 1 CA uuu r 1 1 1 1 2 2 CC uu uu r 1 0 1 1 BA u uu r 1 11 1 22 BC u uu u r 设面 11 AC C的法向量为 1 nx y z ur 由 1111
16、0 0n CAn CC u r uu u ru r uu uu r 0 11 0 22 xz xyz 令1z 则 1 1 1 1 n ur 设面 11 AC B的法向量为 2 nm n k uu r 则 2121 0 0nBAnBC u u r u uu ru u r uuu u r 则 0 11 0 22 nk mnk 令1k 则 2 1 1 1 n u u r 10 分 所以 12 12 12 1 111 cos 333 nn n n nn ur uu r u r uu r u r u u r 设二面角 11 CACB的平面角为 12 nn ur u u r 所以 1 coscos 3 12 分 19 本小题满分 12 分 解 记路段AC 发生堵车事件为AC 各路段发生堵车事件的记法与此类同 因为各路段发生堵车事件都是独立的 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次 所以路线 A C D B 中遇到堵车的概率为 1 11PP AC CD DBP AC P CD P DB 1111P ACP CDP DB 914 53 1 10 15 610 2 分 同理 路线 A C F B 中遇到堵
