《【精选】人教版九年级数学上册专题十有关切线的辅助线作法同步测试及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精选】人教版九年级数学上册专题十有关切线的辅助线作法同步测试及答案.pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、有关切线的辅助线作法 一切线的性质 教材 P101 习题 24 2 第 5 题 如图 1 以点 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB 是小圆的切线 点 P 为切点 求证 AP BP 证明 连接OP AB 是小圆的切线 OP AB 在大圆中由垂径定理得AP BP 图 1 图 2 思想方法 圆的切线垂直于过切点的半径 所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线 作法 如图 2 两个同心圆的半径分别为4 cm 和 5 cm 大圆的一条弦AB 与小圆相切 则弦AB 的长为 C A 3 cmB 4 cmC 6 cmD 8 cm 如图 3 已知点O 为 Rt ABC 斜边 AC 上一点 以点O 为圆心
2、 OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点E 与 AC 相交于点D 连接 AE 1 求证 AE 平分 CAB 2 探求图中 1 与 C 的数量关系 并求当AE EC 时 C 的值 图 3 变形 2 答图 解 1 证明 如图 连接OE BC 是 O 的切线 且切点为E OE BC OEC 90 又 ABC 是直角三角形 B 90 OEC B OE AB BAE OEA OA OE 1 OEA BAE 1 AE 平分 CAB 2 ABC 是直角三角形 BAC C 90 AE 平分 CAB BAC 2 1 2 1 C 90 即 1 1 2 90 C 当 AE EC 时 1 C 则 2 C C 90
3、C 30 图 4 如图 4 AB 是 O 的直径 D 为 O 上一点 AT平分 BAD 交 O 于点 T 过点 T作 AD 的延长线于点C 1 求证 CT 为 O 的切线 2 若 O 半径为 2 CT 3 求 AD 的长 解 1 证明 连接OT OA OT OAT OTA 又 AT平分 BAD DAT OAT DAT OTA OT AC 又 CT AT CT OT CT 为 O 的切线 2 解 过 O 作 OE AD 于 E 则 E 为 AD 中点 又 CT AC OE CT 四边形 OTCE 为矩形 CT 3 OE 3 又 OA 2 在 Rt OAE 中 AE OA2 OE2 22 3 2
4、1 AD 2AE 2 二切线的判定 教材 P101 习题 24 2 第 4 题 如图 5 直线 AB 经过 O 上的点 C 并且 OA OB CA CB 求证 直线AB 是 O 的切线 证明 连接 OC OA OB CA CB OAB 是等腰三角形 OC 是底边 AB 上的中线 OC AB AB 是 O 的切线 图 5 思想方法 证明某直线为圆的切线时 1 如果该直线与已知圆有公共点 即可作出经过该点的 半径 证明直线垂直于该半径 即 连半径 证垂直 2 如果不能确定该直线与已知圆有公共点 则过圆心作直线的垂线 证明圆心到直线的距离等于半径 即 作垂直 证半径 注意 在证明 垂直时 常用到直径
5、所对的圆周角是直角 如图 6 四边形ABCD 是平行四边形 以AB 为直径的圆O 经过点 D E 是 O 上一点 且 AED 45 判断 CD 与 O 的位置关系 并说明理由 图 6 解 CD 与 O 相切 理由如下 连接 DO AED 45 AOD 90 四边形ABCD 是平行四边形 AB CD CDO AOD 90 又 OD 是 O 的半径 CD 经过点 D CD 是 O 的切线 2012 温州 如图 7 ABC 中 ACB 90 D 是边 AB 上的一点 且 A 2 DCB E 是 BC 上的一点 以EC 为直径的 O 经过点 D 1 求证 AB 是 O 的切线 2 若 CD 的弦心距为
6、1 BE EO 求 BD 的长 图 7 变形 2 答图 解 1 证明 如图 连接OD DOB 2 DCB 又 A 2 DCB A DOB 又 A B 90 DOB B 90 BDO 90 OD AB AB 是 O 的切线 2 解法一 如图 过点O 作 OM CD 于点 M OD OE BE 1 2BO BDO 90 B 30 DOB 60 DCB 30 OC 2OM 2 OD 2 BO 4 BD 2 3 解法二 如图 过点O 作 OM CD 于点 M 连接 DE OM CD CM DM 又 OC OE DE 2OM 2 Rt BDO 中 OE BE DE 1 2BO BO 4 OD OE 2
7、BD 23 图 8 如图 8 已知 O 的半径为1 DE 是 O 的直径 过D 作 O 的切线 C 是 AD 的中点 AE 交 O 于 B 点 四边形BCOE 是平行四边形 1 求 AD 的长 2 BC 是 O 的切线吗 若是 给出证明 若不是 说明理由 解 1 连接 BD 则 DBE 90 四边形 BCOE 是平行四边形 BC OE BC OE 1 在 Rt ABD 中 C 为 AD 的中点 BC 1 2AD 1 AD 2 2 连接 OB 由 1 得 BC OD 且 BC OD 四边形 BCDO 是平行四边形 又 AD 是 O 的切线 OD AD 四边形 BCDO 是矩形 OB BC BC
8、是 O 的切线 图 9 如图 AB 是 O 的直径 AF 是 O 的切线 CD 是垂直于AB 的弦 垂足为E 过点C 作 DA 的平行线与AF 相交于点 F CD 4 3 BE 2 求证 1 四边形 FADC 是菱形 2 FC 是 O 的切线 解 1 连接 OC 依题意知 AF AB 又 CD AB AF CD 又 CF AD 四边形 FADC 是平行四边形 由垂径定理得 CE ED 1 2CD 2 3 设 O 的半径为R 则 OC R OE OB BE R 2 在 ECO 中 由勾股定理得 R 2 R 2 2 2 3 2 解得 R 4 AD AE 2 DE2 62 2 3 2 4 3 AD
9、CD 因此平行四边形FADC 是菱形 2 连接 OF 由 1 得 FC FA 又 OC OA FO FO FCO FAO FCO FAO 90 因此 FC 是 O 的切线 第 3 课时切线长定理和三角形内切圆 见 B 本 P46 1 如图 24 2 30 从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线PA PB 切点分别为A B 如果 APB 60 PA 8 那么弦AB 的长是 B 图 24 2 30 A 4B 8C 6D 10 解析 P A PB 都是 O 的切线 P A PB 又 P 60 P AB 是等边三角形 即AB PA 8 2 如图 24 2 31 PA 切 O 于 A PB 切 O
10、于 B OP 交 O 于 C 下列结论中 错误的是 D 图 24 2 31 A 1 2 B PA PB C AB OPD PA2 PC PO 3 如图 24 2 32 已知 ABC 中 I 内切于 ABC 切点分别为D E F 则 I 是 DEF 的 A 图 24 2 32 A 外心B 内心C 重心D 垂心 解析 I 是 DEF 的外接圆 4 如图 24 2 33 已知 PA PB 切 O 于 A B C 是劣弧 AB 上一动点 过C 作 O 的切线交PA 于 M 交 PB 于 N 已知 P 56 则 MON C 图 24 2 33 A 56 B 60 C 62 D 不可求 解析 连接 OA
11、OB 则 AOB 124 MON 1 2 AOB 1 2 124 62 故选 C 5 ABC 中 A 80 若 O 为外心 M 为内心 则 BOC 160 度 BMC 130 度 解析 根据分析 得 BOC 2 A 160 BMC 90 1 2 A 130 6 2013 天津 如图 24 2 34 P A PB 分别切 O 于点 A B 若 P 70 则 C 的大小为 55 图 24 2 34 解析 连接 OA OB P A PB 分别切 O 于点 A B OA PA OB PB 即 P AO PBO 90 AOB 360 PAO P PBO 360 90 70 90 110 C 1 2 AO
12、B 55 7 2012 菏泽 如图 24 2 35 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 AC 是 O 的直径 若 P 46 则 BAC 23 图 24 2 35 解析 P A PB 是 O 的切线 P A PB 又 P 46 P AB PBA 180 46 2 67 又 P A 是 O 的切线 AO 为 O 的半径 OA AP OAP 90 BAC OAP PAB 90 67 23 8 如图 24 2 36 PA PB 分别切 O 于 A B 连接 PO 与 O 相交于 C 连接 AC BC 求证 AC BC 图 24 2 36 证明 PA PB 分别切 O 于 A B P A PB
13、APC BPC 又 PC PC APC BPC AC BC 9 如图 24 2 37 O 为 ABC 的内切圆 切点分别为D E F BCA 90 BC 3 AC 4 1 求 ABC 的面积 2 求 O 的半径 3 求 AF 的长 图 24 2 37 解 1 C 90 BC 3 AC 4 ABC 的面积为 1 2 3 4 6 2 连接 OE OD O 为 ABC 的内切圆 D E F 为切点 EB FB CD CE AD AF OE BC OD AC 又 C 90 OD OE 四边形 ECDO 为正方形 设 OE OD CE CD x BE 3 x DA 4 x FB 3 x AF 4 x 3
14、 x 4 x 5 解得 x 1 3 CD 1 AF AD 4 1 3 10 如图 24 2 38 所示 AC 是 O 的直径 ACB 60 连接AB 过 A B 两点分别作 O 的切线 两切线交于点P 若已知 O 的半径为 1 则 PAB 的周长为 3 3 图 24 2 38 解析 AP BP 是 O 的切线 PAC 90 PA PB AC 是 O 的直径 ABC 90 BAC 90 C 90 60 30 P AB 90 30 60 P AB 是等边三角形 在 Rt ABC 中 BAC 30 BC 1 2AC 1 2 2 1 AB AC 2 BC2 22 12 3 P AB 的周长为33 11
15、 如图 24 2 39 已知 AB 为 O 的直径 PA PC 是 O 的切线 A C 为切点 BAC 30 1 求 P 的大小 2 若 AB 2 求 PA 的长 结果保留根号 图 24 2 39 第 11 题答图 解 1 PA 是 O 的切线 AB 为 O 的直径 P A AB BAP 90 BAC 30 CAP 90 BAC 60 又 P A PC 切 O 于点 A C PA PC P AC 为等边三角形 P 60 2 如图 连接BC 则 ACB 90 在 Rt ACB 中 AB 2 BAC 30 BC 1 2AB 1 2 2 1 AC AB 2 BC2 22 12 3 P A AC 3
16、12 如图 24 2 40 直尺 三角尺都和圆O 相切 AB 8 cm 求圆 O 的直径 图 24 2 40 第 12 题答图 解 作出示意图如答图 连接OE OA OB AC AB 都是 O 的切线 切点分别是E B OBA 90 OAE OAB 1 2 BAC CAD 60 BAC 120 OAB 1 2 120 60 BOA 30 OA 2AB 16 cm 由勾股定理得OB OA2 AB2 162 82 83 cm 即 O 的半径是8 3cm O 的直径是163cm 13 如图 24 2 41 P A PB 分别切 O 于 A B 连接 PO AB 相交于 D C 是 O 上一点 C 60 1 求 APB 的大小 2 若 PO 20 cm 求 AOB 的面积 图 24 2 41 解 1 PA PB 分别为 O 的切线 OA PA OB PB OAP OBP 90 C 60 AOB 2 C 120 在四边形APBO 中 APB 360 OAP OBP AOB 360 90 90 120 60 2 PA PB 分别为 O 的切线 P A PB OA OB PO PO P AO PBO
