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1、I 1 S 0 While S 20 I I 2 S 2I 1 End While Print I End 第 5 题图 2020 届高三数学高考押题试卷 数学 试题 一 填空题 本大题共14小题 每小题 5分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡 相应位置上 1 已知集合 13 AxxxZ B 2 m 4 若 A B 2 3 则实数 m 2 若复数 2 1 a a i i R 的实部与虚部互为相反数 则a的值等于 3 两根相距 6m 的木杆上系一根水平绳子 并在绳子上随机挂一盏灯 则灯与两端 距离都大于 2m的概率为 4 为了解一大片经济林的生长情况 随机测量其中若干株树木的底部周长 单位
2、cm 其数据绘制的频率分布直方图如图 则估计该片经济林中底部周长在 98 104 中的树木所占比例为 5 根据如图所示的伪代码 可知输出的结果为 6 已 知 数 列 是 n a等 比 数 列 若 456 1 aaa成 等 差 数 列 且 7 1a 则 10 a 7 投资生产 A B两种产品需要资金 场地 以及所获利润如下表所示 资金 百万元 场地 百平方米 利润 百万元 A产品 百吨 2 2 3 B产品 百米 3 1 2 限制14 9 现某工厂可使用资金1400万元 场地 900m 2 若选择投资 A B产品最佳组合方案 则获利最大值为百万元 96 98 100 102 104 106 0 1
3、50 0 125 0 100 0 075 0 050 周长 cm 频率 组距 第 4 题图 F E G H D CB A S4 S2 S3 S1 13 题图 8 在 ABC中 已知 BC 4 AC 3 且 cos A B 17 18 则 cosC 9 设向量a r b r 满足2ab rr 6ab rr 则a r 与b r 夹角的最大值为 10 若函数 2 0 1 yax a x 的最小值为 4 则 a 的值为 11 底面半径为 2cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球 使得四个球 两两相切 其中底层两球与容器底面也相切 现往容器里注水 使水面恰好浸没所 有铁球 则需要注水 cm 3
4、 12 已知点 12 FF分别为双曲线 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点 点 P 为该双曲线 左支上的任意一点 若 2 2 1 PF PF 的最小值为 8a 则该双曲线离心率e的取值范围 是 13 如图 线段 EF和 GH把矩形 ABCD 分割成四个小矩形 记四 个 小矩形的面积分别为 1 2 3 4 i Si 已知AB 1 1 1S 2 1S 3 1S 4 2S 则 BC的最小值是 14 若 方 程 log x a a x 1 a有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 则 实 数 a 的 取值 范围 是 二 解答题 本大题共 6 小题 15 17 每题 14 分 18 20
5、 每题 16 分 共计 90 分 请 在答题卡指定的区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 设 1 ax r 2 1 b r 1 cxm m r xmRR 1 若a r 与b r 的夹角为钝角 求x 的取值范围 2 解关于 x 的不等式acac rrrr 16 如图 在棱长为2 的正方体 1111 ABCDA B C D中 E为 1 DD的中点 1 求证 1 BD P面 EAC 2 求四面体 1 EACB的体积 17 如图 开发商欲对边长为1km的正方形 ABCD 地段进行市场开发 拟在该地段 的一角建设一个景观 需要建一条道路EF 点 EF 分别在 BCCD 上 根据 规
6、划要求ECF 的周长为 2km 1 试求EAF 的大小 2 欲使EAF 的面积最小 试确定点EF 的位置 18 如图 线段 AB两端点分别在 x 轴 y 轴上滑动 且 ABab ab M为线 1 D A 1 B D E 1 A 1 C B C F E D CB A 段 AB上一点 且 MBa MAb 1 求点 M的轨迹 C 的方程 2 已知圆 O 22 1xy 设 P为轨迹 C 上任一点 若存在以点P为顶点 与圆 O外切且内接于轨迹 C 的平行四边形 求证 22 11 1 ab 19 已知数列 n a的各项均为整数 其前6 项依次构成等比数列 且从第5项起依 次构成等差数列 1 设数列 n a
7、的前n项和为 n S 且 4 4a 8 1a 求满足 0 n S的n的最小值 是否存在正整数m 使得 22 1 mmmm aaaa成立 若存在 求出m的值 若不存在 说明理由 2 设数列 n a的前 6 项均为正整数 公比为q 且 1 2 q 求 6 a的最小值 A B x y O M O2O1 B C D P A 20 已知函数 2 xx aee xf 2 xx ee xg xaRR 当1a时 试用 ygxgyfxf表示 yxf 研究函数 xfy的图象发现 取不同的a值 xfy的图象既可以是中心对 称图形 也可以是轴对称图形 对称轴为垂直于 x轴的一条直线 试求其对称中 心的坐标和对称轴方程
8、 设函数 xh的定义域为 R 若对于任意的实数yx 函数 xh满足 xyhyxhxyfxyfyxfxyh 且1 xfxh 证明 xfxh 数学附加题部分 考试时间 30 分钟 试卷满分 40 分 21 选做题 在A B C D 四个小题中只能选做2 个小题 每小题10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 1 Oe和 2 Oe外切于点 P 延长 1 PO交 1 Oe于点 A 延长 2 PO交 2 Oe于点 D 若 AC与 2 Oe相切于点 C 且交 1 Oe于点 B 求证 1 PC平分BPD 2 2 PCP
9、B PD B 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 21 13 A将直线 10lxy变换成直线 l 1 求直线 l 的方程 2 判断矩阵 A 是否可逆 若可逆 求出矩阵A 的逆矩阵 1 A 若不可逆 请 说明理由 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知点P 为圆 2 2sin70上任一点 求点P 到直线 cossin70的距离的最小值与最大值 D 选修 4 5 不等式选讲 设 2 13f xxx 实数a满足1xa 求证 2 1 f xf aa 22 必做题 1 用红 黄 蓝 白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃 要求同一区 域上用同一种颜色鲜花 相邻区域用不同颜色鲜花 问共有
10、多少种不同的摆放方 案 2 用红 黄 蓝 白 橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃 要求同 一区域上用同一种颜色鲜花 相邻区域使用不同颜色鲜花 求恰有两个区域用红色鲜花的概率 记花圃中红色鲜花区域的块数为 求的分布列及其数学期望 E 23 必做题 已知抛物线xy 2 的焦点为 F 点 00 yxM 与原点不重合 在抛物线上 1 作一条斜率为 0 2 1 y 的直线交抛物线于HG 两点 连接MHMG 分别交x轴 于BA 两点 直线MHMG 与x轴不垂直 求证MBMA 2 设DC 为抛物线上两点 过DC 作抛物线的两条切线相交于点P DC 与 M 不重合 与 M的连线也不垂直于x轴 求证 PF
11、CPFD 命题人员 鲍立华王正军陆 明明 图一 图二 数学试题参考答案 一 填空题 1 3 2 0 3 4 75 5 11 6 1 8 7 14 75 8 1 6 9 120 o 10 1 11 8 4 2 3 12 1 3 13 322 14 1 1 e ae 二 解答题 15 1 由题知 210a bx r r 解得 1 2 x 又当2x时 a r 与b r 的夹角为 所以当a r 与b r 的夹角为钝角时 x 的取值范围为 1 2 2 2 6 分 2 由acac rrrr 知 0a c r r 即 1 1 0 xxm 8 分 当2m时 解集为 11 x mx 10 分 当2m时 解集为空
12、集 12 分 当2m时 解集为 11 xxm 14 分 16 1 连接 BD交 AC于 O点 连接 OE 由题知 O为 BD中点 在 1 BDDV中 OE为中位线 OE 1 BD 4 分 又 OE面 EAC 1 BD面 EAC 1 BD 面 EAC 6 分 2 连接 1 OB O为 AC中点 EA EC 11 B AB C EOAC 1 B OAC 1 B OE为二面角 1 EACB的平面角 由正方体的棱长为2 得3EO 1 6OB 1 3EB 222 11 EOOBEB 即 1 2 B OE EO面 1 ABC 即 EO为四面体 1 EAB C的高 12 分 11 1 3 EAB CAB C
13、 VEO SV 11 32 262 32 14 分 17 解 1 设 BAEDAF 01 01 CEx CFyxy 则tan1 tan1xy 由已知得 22 2xyxy 即2 2xyxy 4 分 tantan112 2 tan 1 1tantan1 1 1 22 xyxyxy xyxyxyxyxy Q 0 24 Q 即 4 EAF 8 分 2 由 1 知 1221121 sin 244coscos4cos cos AEF SAE AFEAFAE AF 2 21111 42cos sincos sin 22cossin2cos21 coscos 4 1 2 sin 2 1 4 12 分 0 4
14、Q 2 42 即 8 时AEF 的面积最小 最小面积为21 2 2tan 8 tan tan21 48 1tan 8 Q 故此时21BEDF 所以 当21BEDF时 AEF 的面积最小 14 分 18 1 点 M的轨迹 C 的方程为 22 22 1 xy ab 6 分 2 显然圆 O外切的平行四边形为菱形 连接 PO并延长交椭圆 C于点 Q 过 O作 PQ垂线交椭圆于 C D 连接 PC与圆 O 切于点 H 当 PO斜率不存在时 可得 22 11 1 ab 8 分 当 PO斜率存在时设为 k PO方程ykx与 22 22 1 xy ab 联立解得 22 2 222 a b x ba k 222
15、 2 222 a b k y ba k 10 分 所以 222 22222222 11ba k OPxya ba b k 同理可求得 222 222222 1ab k OCa ba b k 所以 2222 1111 OPOCab 14 分 又 Rt POC的斜边与圆 O切于点 H 故 222 111 OPOCOH 所以 22 11 1 ab 16分 19 1 设数列 n a的前 6 项等比数列的公比为q 从第 5 项起等差数列的公差 为 d 由 54 4aa qq 22 64 4aa qq 则 2 44dqq 又 2 85343 44 1aadqqq 解得 1 2 q或 1 6 q 舍 因为
16、n a为整数 所以 1 2 q 1d 故 6 1 6 2 7 7 n n nnN a n nnN 2 分 所以 1 64 1 6 2 7 6 63 7 2 n n nnN S nn nnN 4 分 0 n S 7n由 7 6 630 2 nn 得17n 所以 满足 0 n S的n的最小值为 18 6 分 假设存在正整数m 使得 22 1 mmmm aaaa成立 即 2 1 1 0 mm aa由1 m a或 2 1 m a得6m 所以 存在正整数6m 使得 22 1 mmmm aaaa成立 10 分 设 1 1 n n aa q 由 1 a 6 a都是正整数 则q必为有理数 设 s q r 其中 s r 都是正整数 且 1s r 22rsr 则 5 615 s aa r 由 1s r 得 55 1s r 所以 1 a是 5 r 的整数倍 因此 5 55 61 5 3243 s aas r 14分 当2r 3s时 即 3 2 q 5 1 2a时 6 a取到最小值 243 16 分 20 2 2 xx xx ee xg ee xf 得 xgxfe xgxfe x x 2 ygxgyfxf e
