《数学同步新导学案北师大选修1-1课件：第四章 导数应用 2.2 第1课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学同步新导学案北师大选修1-1课件：第四章 导数应用 2.2 第1课时（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第四章2 2最大值 最小值问题 第1课时函数的最值与导数 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1 自主学习 PARTONE 知识点一函数f x 在闭区间 a b 上的最值函数f x 在闭区间 a b 上的图像是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在处或处取得 特别提醒 1 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的连续函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 2 函数的最大值和最小值是
2、一个整体性概念 3 函数y f x 在 a b 上连续 是函数y f x 在 a b 上有最大值或最小值的充分不必要条件 端点 极值点 知识点二求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 极值 端点处 最大值 最小值 知识点三最值与极值的区别与联系 1 极值是对某一点附近 即局部 而言 最值是对函数的定义区间的整体而言 2 在函数的定义区间内 极大 小 值可能有多个 但最大 小 值只有一个 或者没有 3 函数f x 的极值点为定义域中的内点 而最值点可以是区间
3、的端点 4 对于可导函数 函数的最大 小 值必在极大 小 值点或区间端点取得 如图是y f x 在区间 a b 上的函数图像 显然f x1 f x3 f x5 为极大值 f x2 f x4 f x6 为极小值 最大值y M f x3 f b 分别在x x3及x b处取得 最小值y m f x4 在x x4处取得 1 函数的最大值一定是函数的极大值 2 开区间上的单调连续函数无最值 3 函数f x 在区间 a b 上的最大值和最小值一定在两个端点处取得 思考辨析判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2 题型探究 PARTTWO 题型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数
4、求最值例1求下列函数的最值 1 f x 2x3 12x x 2 3 解因为f x 2x3 12x 当x 3时 f x 取得最大值18 所以当x 0时 f x 有最小值0 当x 2 时 f x 有最大值 反思感悟求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值大小 确定最值 跟踪训练1求函数f x ex 3 x2 x 2 5 的最值 解 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x
5、 ex x 3 x 1 0 函数f x 在区间 2 5 上是减少的 当x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 当x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 解由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的递减区间是 k 1 递增区间是 k 1 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上是增加的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k
6、当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上是减少的 在 k 1 1 上是增加的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上是减少的 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 反思感悟对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值
7、再与端点值比较后确定最值 跟踪训练2已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 解f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 在 0 1 上是减少的 所以当x 0时 f x 有最大值f 0 0 当x变化时 f x f x 随x的变化情况如下表 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 题型二由函数的最值求参数 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题
8、设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 解令f x 3x
9、2 3ax 0 得x1 0 x2 a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 而f 0 f a f 1 f 1 故需比较f 0 与f 1 及f 1 与f a 的大小 所以f x 的最大值为f 0 b 1 3 达标检测 PARTTHREE 1 函数f x x2 4x 7在x 3 5 上的最大值和最小值分别是A f 2 f 3 B f 3 f 5 C f 2 f 5 D f 5 f 3 解析 f x 2x 4 当x 3 5 时 f x 0 故f x 在 3 5 上是减少的 故f x 的最大值和最小值分别是f 3 f 5 1 2 3 4 5 2 函数f x x3 3x x 1 A 有最大值 但
10、无最小值B 有最大值 也有最小值C 无最大值 但有最小值D 既无最大值 也无最小值 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是减少的 无最大值和最小值 故选D 1 2 3 4 5 3 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围是A 0 1 B 0 1 C 1 1 解析 f x 3x2 3a 令f x 0 可得a x2 a 0 又 x 0 1 0 a 1 故选B 1 2 3 4 5 4 设M m分别是函数f x 在 a b 上的最大值和最小值 若M m 则f x 1 2 3 4 5 0 解析因为f x 在 a b 上的最大值与最小值相等 所以f x 在 a b 上为常函数 f x 0 1 2 3 4 5 5 函数f x x3 x2 2x 5 若对于任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 解析f x 3x2 x 2 7 可求得f x max f 2 7 所以对于任意x 1 2 f x 7 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 求函数在闭区间上的最值 只需比较极值和端点处的函数值即可 若函数在一个开区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 2 已知最值求参数时 可先确定参数的值 用参数表示最值时 应分类讨论
