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1、第1页 共 22页 2016年上海市高考数学试卷 理科 一 填空题 本大题共有14 题 满分 56 分 考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果 每个空格填对得4 分 否则一律得零分 1 4 分 设 x R 则不等式 x 3 1 的解集为 2 4 分 设 z 其中 i 为虚数单位 则 Imz 3 4 分 已知平行直线l1 2x y 1 0 l2 2x y 1 0 则 l1 l2的距离 4 4 分 某次体检 6 位同学的身高 单位 米 分别为 1 72 1 78 1 75 1 80 1 69 1 77 则这组数据的中位数是 米 5 4 分 已知点 3 9 在函数 f x 1 ax的图象上 则
2、 f x 的反函数 f 1 x 6 4 分 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD的边长为 3 BD1与底面 所成角的大小为 arctan 则该正四棱柱的高等于 7 4 分 方程 3sinx 1 cos2x在区间 0 2 上的解为 8 4 分 在 n的二项式中 所有的二项式系数之和为256 则常数 项等于 9 4 分 已知 ABC 的三边长分别为3 5 7 则该三角形的外接圆半径等 于 10 4 分 设 a 0 b 0 若关于 x y 的方程组无解 则 a b 的取值 范围为 11 4分 无穷数列 an 由 k 个不同的数组成 Sn为 an 的前 n 项和 若对任意 n N S
3、n 2 3 则 k 的最大值为 12 4 分 在平面直角坐标系中 已知 A 1 0 B 0 1 P是曲线 y 上一个动点 则 的取值范围是 13 4 分 设 a b R c 0 2 若对于任意实数x 都有 2sin 3x asin bx c 则满足条件的有序实数组 a b c 的组数为 14 4 分 如图 在平面直角坐标系xOy 中 O 为正八边形 A1A2 A8的中心 第2页 共 22页 A1 1 0 任取不同的两点Ai Aj 点 P满足 则点 P落在第一 象限的概率是 二 选择题 54 20 分 15 5 分 设 a R 则 a 1 是 a 2 1 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条
4、件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 16 5 分 下列极坐标方程中 对应的曲线为如图所示的是 A 6 5cos B 6 5sin C 6 5cos D 6 5sin 17 5 分 已知无穷等比数列 an 的公比为 q 前 n 项和为 Sn 且 S 下列条件中 使得2Sn S n N 恒成立的是 A a1 0 0 6 q 0 7 B a1 0 0 7 q 0 6 C a1 0 0 7 q 0 8 D a1 0 0 8 q 0 7 18 5 分 设 f x g x h x 是定义域为 R 的三个函数 对于命题 f x g x f x h x g x h x 均为增函数 则 f x g x h
5、 x 中至少有一个增函数 若f x g x f x h x g x h x 均是以 T为周期的函数 则f x g x h x 均是以 T 为周期的函数 下列判断正 确的是 A 和 均为真命题B 和 均为假命题 第3页 共 22页 C 为真命题 为假命题D 为假命题 为真命题 三 解答题 74 分 19 12 分 将边长为1 的正方形 AA1O1O 及其内部 绕OO1旋转一周形成圆 柱 如图 长为 长为 其中 B1与 C在平面 AA1O1O的同侧 1 求三棱锥 C O1A1B1的体积 2 求异面直线 B1C与 AA1所成的角的大小 20 14 分 有一块正方形EFGH EH所在直线是一条小河 收
6、获的蔬菜可送到 F 点或河边运走 于是 菜地分别为两个区域S1和 S2 其中 S1中的蔬菜运到河 边较近 S2中的蔬菜运到 F 点较近 而菜地内S1和 S2的分界线 C上的点到河边 与到 F 点的距离相等 现建立平面直角坐标系 其中原点O 为 EF的中点 点 F 的坐标为 1 0 如图 1 求菜地内的分界线C的方程 2 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是 S2面积的两倍 由此得到S1面积的经验 值为 设 M 是 C上纵坐标为 1 的点 请计算以EH为一边 另一边过点M 的 矩形的面积 及五边形EOMGH的面积 并判断哪一个更接近于S1面积的 经验 值 第4页 共 22页 21 14 分 双曲线 x
7、2 1 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A B两点 1 直线 l 的倾斜角为 F1AB是等边三角形 求双曲线的渐近线方程 2 设 b 若 l 的斜率存在 且 0 求 l 的斜率 22 16 分 已知 a R 函数 f x log2 a 1 当 a 5 时 解不等式 f x 0 2 若关于 x 的方程 f x log2 a 4 x 2a 5 0 的解集中恰好有一个元 素 求 a的取值范围 3 设 a 0 若对任意 t 1 函数 f x 在区间 t t 1 上的最大值与 最小值的差不超过1 求 a 的取值范围 23 18 分 若无穷数列 an 满足 只要a
8、p aq p q N 必有 ap 1 aq 1 则 称 an 具有性质 P 1 若 an 具有性质 P 且 a1 1 a2 2 a4 3 a5 2 a6 a7 a8 21 求 a3 2 若无穷数列 bn 是等差数列 无穷数列 cn 是公比为正数的等比数列 b1 c5 1 b5 c1 81 an bn cn 判断 an 是否具有性质 P 并说明理由 3 设 bn 是无穷数列 已知an 1 bn sinan n N 求证 对任意 a1 an 都具有性质 P 的充要条件为 bn 是常数列 第5页 共 22页 2016 年上海市高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共有14 题 满
9、分 56 分 考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果 每个空格填对得4 分 否则一律得零分 1 4 分 设 x R 则不等式 x 3 1 的解集为 2 4 分析 由含绝对值的性质得 1 x 3 1 由此能求出不等式 x 3 1 的解 集 解答 解 x R 不等式 x 3 1 1 x 3 1 解得 2 x 4 不等式 x 3 1 的解集为 2 4 故答案为 2 4 点评 本题考查含绝对值不等式的解法 是基础题 解题时要认真审题 注意 含绝对值不等式的性质的合理运用 2 4 分 设 z 其中 i 为虚数单位 则 Imz 3 分析 利用复数代数形式的乘除运算法则 先求出复数z 的最简形式 由此
10、能 求出 Imz 解答 解 Z 2 3i Imz 3 故答案为 3 点评 本题考查复数的虚部的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意复数 的乘除运算法则的合理运用 3 4 分 已知平行直线 l1 2x y 1 0 l2 2x y 1 0 则 l1 l2的距离 第6页 共 22页 分析 直接利用平行线之间的距离公式求解即可 解答 解 平行直线 l1 2x y 1 0 l2 2x y 1 0 则 l1 l2的距离 故答案为 点评 本题考查平行线之间的距离公式的应用 考查计算能力 4 4 分 某次体检 6 位同学的身高 单位 米 分别为 1 72 1 78 1 75 1 80 1 69 1 77 则
11、这组数据的中位数是1 76 米 分析 先把这组数据按从小到大排列 求出位于中间的两个数值的平均数 得 到这组数据的中位数 解答 解 6 位同学的身高 单位 米 分别为 1 72 1 78 1 75 1 80 1 69 1 77 从小到大排列为 1 69 1 72 1 75 1 77 1 78 1 80 位于中间的两个数值为1 75 1 77 这组数据的中位数是 1 76 米 故答案为 1 76 点评 本题考查中位数的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意中位数的 定义的合理运用 5 4 分 已知点 3 9 在函数 f x 1 ax的图象上 则 f x 的反函数 f 1 x log2 x 1 x
12、 1 分析 由于点 3 9 在函数 f x 1 ax的图象上 可得 9 1 a3 解得 a 2 可 得 f x 1 2x 由 1 2x y 解得 x log2 y 1 y 1 把 x 与 y 互换即可得 出 f x 的反函数 f 1 x 解答 解 点 3 9 在函数 f x 1 a x 的图象上 9 1 a3 解得 a 2 f x 1 2x 由 1 2x y 解得 x log2 y 1 y 1 把 x 与 y 互换可得 f x 的反函数 f 1 x log 2 x 1 故答案为 log2 x 1 x 1 点评 本题考查了反函数的求法 指数函数与对数函数的互化 考查了推理能 第7页 共 22页
13、力与计算能力 属于中档题 6 4 分 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD的边长为 3 BD1与底面 所成角的大小为 arctan 则该正四棱柱的高等于2 分析 根据正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱 D1D 底面 ABCD 判断 D1BD为 直线 BD1与底面 ABCD所成的角 即可求出正四棱柱的高 解答 解 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱 D1D 底面 ABCD D1BD为直线 BD1与底面 ABCD所成的角 tan D1BD 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD的边长为 3 BD 3 正四棱柱的高 3 2 故答案为 2 点评 本题考
14、查了正四棱柱的性质 正四棱柱的高的计算 考查了线面角的定 义 关键是找到直线与平面所成的角 7 4 分 方程 3sinx 1 cos2x在区间 0 2 上的解为或 分析 利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式 然后求解即可 解答 解 方程 3sinx 1 cos2x 可得 3sinx 2 2sin2x 即 2sin2x 3sinx 2 0 可得 sinx 2 舍去 sinx x 0 2 解得 x 或 故答案为 或 第8页 共 22页 点评 本题考查三角方程的解法 恒等变换的应用 考查计算能力 8 4 分 在 n的二项式中 所有的二项式系数之和为256 则常数 项等于112 分析 根据展开式中所
15、有二项式系数的和等于2n 256 求得n 8 在展开式 的通项公式中 令 x 的幂指数等于 0 求得 r 的值 即可求得展开式中的常数项 解答 解 在 n 的二项式中 所有的二项式系数之和为256 2n 256 解得 n 8 8中 T r 1 当 0 即 r 2 时 常数项为 T3 2 2 112 故答案为 112 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项式展开式的通项公式 求展开式 中某项的系数 二项式系数的性质 属于中档题 9 4 分 已知 ABC的三边长分别为3 5 7 则该三角形的外接圆半径等于 分析 可设 ABC的三边分别为 a 3 b 5 c 7 运用余弦定理可得cosC 由 同角
16、的平方关系可得sinC 再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 代入计算即可得到所求值 解答 解 可设 ABC的三边分别为 a 3 b 5 c 7 由余弦定理可得 cosC 可得 sinC 可得该三角形的外接圆半径为 故答案为 点评 本题考查三角形的外接圆的半径的求法 注意运用正弦定理和余弦定理 第9页 共 22页 考查运算能力 属于基础题 10 4 分 设 a 0 b 0 若关于 x y 的方程组无解 则 a b 的取值 范围为 2 分析 根据方程组无解 得到两直线平行 建立a b 的方程关系 利用转化 法 利用基本不等式的性质进行求解即可 解答 解 关于 x y 的方程组无解 直线 ax y 1 与 x by 1 平行 a 0 b 0 即 a 1 b 1 且 ab 1 则 b 由基本不等式有 a b a 2 2 当且仅当 a 1时取等 而 a 的范围为 a 0 且 a 1 不满 足取等条件 a b 2 故答案为 2 点评 本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用 考查学生的计算能 力 11 4分 无穷数列 an 由 k 个不同的数组成 Sn为 an 的前 n 项和 若对任意 n
