数学（理科）课件：专题七 概率与统计

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1、专题七概率与统计 题型1 概率与统计 概率与统计的综合题 自从2005年走进新高考试题后 就以崭新的姿态 在高考中占有极其重要的地位 每年出现一道大题 都有一定的命题背景 其地位相当于原来的应用题 连续五年都为一题多问 前面考统计 后面考概率 预计这一趋势在全国高考中会得到延续 例1 2016年新课标 某公司计划购买2台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱

2、状图7 1 图7 1 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数 n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 1 求X的分布列 2 若要求P x n 0 5 确定n的最小值 3 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在n 19与n 20之中选其一 应选用哪个 解 1 由柱状图并以频率代替概率可得 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8 9 10 11的概率分别为0 2 0 4 0 2 0 2 从而 P X 16 0 2 0 2 0 04 P X 17 2 0 2 0 4 0 16 P X 18 2 0 2 0 2

3、0 4 0 4 0 24 P X 19 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 24 P X 20 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 P X 21 2 0 2 0 2 0 08 P X 22 0 2 0 2 0 04 所以X的分布列为 2 由 1 知 P X 18 0 44 P X 19 0 68 P x n 0 5中 n的最小值为19 3 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 当n 19时 E Y 19 200 500 0 2 1000 0 08 1500 0 04 4040 当n 20时 E Y 20 200 500 0 08 1000 0 04 4080 可

4、知当n 19时所需费用的期望值小于n 20时所需费用 的期望值 故应选n 19 名师点评 1 高考中经常以统计图的形式显示相关的数据信息 以统计图为载体来考查概率的相关问题 本小题主要考查频率分布直方图 概率 期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法 考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 2 散点图与线性回归方程的有关知识 是高考考试的重要知识点 因此是高考命题的一种重要题型 要注意熟练掌握 统计问题最容易出错的两个方面 公式记错 计算出错 互动探究 1 2017年广东深圳一模 某市为了鼓励市民节约用电 实行 阶梯式 电价 将该市每户居民的月用电量划分为三档 月用电量不超过200度的部分

5、按0 5元 度收费 超过200度但不超过400度的部分按0 8元 度收费 超过400度的部分按1 0元 度收费 1 求某户居民用电费用y 单位 元 关于月用电量x 单位 度 的函数解析式 2 为了解居民的用电情况 通过抽样 获得了今年1月份100户居民每户的用电量 统计分析后得到如图7 2所示的频率分布直方图 若这100户居民中 今年1月份用电费用不超过260元的占80 求a b的值 图7 2 3 在满足 2 的条件下 若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率 且同组中的数据用该组区间的中点值代替 记Y为该居民用户1月份的用电费用 求Y的分布列和数学期望 解 1 当0 x

6、 200时 y 0 5x 当200400时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 x 400 x 140 所以y与x之间的函数解析式为 2 由 1 可知当y 260时 x 400 则P x 400 0 8 结合频率分布直方图 得 a 0 0015 b 0 0020 3 由题意可知X可取50 150 250 350 450 550 当x 50时 y 0 5 50 25 P y 25 0 1 当x 150时 y 0 5 150 75 P y 75 0 2 当x 250时 y 0 5 200 0 8 50 140 P y 140 0 3 当x 350时 y 0 5 200 0 8 150 22

7、0 P y 220 0 2 当x 450时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 50 310 P y 310 0 15 当x 550时 y 0 5 200 0 8 200 1 0 150 410 P y 410 0 05 故Y的概率分布列为 所以随机变量X的数学期望 E Y 25 0 1 75 0 2 140 0 3 220 0 2 310 0 15 410 0 05 170 5 题型2 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的分布列与数学期望紧密相连 只有知道随机变量的分布列 才能够计算出随机变量的数学期望 它们之间是层层递进的关系 因此 这类试题经常是以两个小题的形式出现 第一问是为

8、第二问作铺垫的 例2 2017年广东广州二模 某商场拟对某商品进行促销 现有两种方案供选择 每种促销方案都需分两个月实施 且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立 根据以往促销的统计数据 若实施方案1 预计第一个月的销量是促销前的1 2倍和1 5倍的概率分别是0 6和0 4 第二个月的销量是第一个月的1 4倍和1 6倍的概率都是0 5 若实施方案2 预计第一个月的销量是促销前的1 4倍和1 5倍的概率分别是0 7和0 3 第二个月的销量是第一个月的1 2倍和1 6倍的概率分别是0 6和0 4 令 i i 1 2 表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数 1 求 1 2的分布列 2

9、不管实施哪种方案 i与第二个月的利润之间的关系如 下表 试比较哪种方案第二个月的利润更大 解 1 依题意 得 1的所有取值为1 68 1 92 2 1 2 4 因为P 1 1 68 0 6 0 5 0 30 P 1 1 92 0 6 0 5 0 30 P 1 2 1 0 4 0 5 0 20 P 1 2 4 0 4 0 5 0 20 所以 1的分布列为 依题意 得 2的所有取值为1 68 1 8 2 24 2 4 因为P 2 1 68 0 7 0 6 0 42 P 2 1 8 0 3 0 6 0 18 P 2 2 24 0 7 0 4 0 28 P 2 2 4 0 3 0 4 0 12 所以

10、2的分布列为 2 令Qi表示方案i所带来的利润 则 所以E Q1 15 0 30 20 0 50 25 0 20 19 5 E Q2 15 0 42 20 0 46 25 0 12 18 5 因为E Q1 E Q2 所以实施方案1 第二个月的利润更大 规律方法 1 会用频率估计概率 然后把问题转化为互 斥事件的概率 2 首先确定X的取值 然后确定有关概率 注意运用对立事件 相互独立事件的概率公式进行计算 列出分布列后即可计算数学期望 3 离散型随机变量分布列的性质p1 p2 pn 1 这条性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具 希望同学在求分布列时尽量将每个变量的概率求出 而不要偷懒 如1

11、0 04 0 42 0 54 否则将失去自我检查的机会 互动探究 2 2017年广东华附执信深外联考 某节目的每期节目有四名导师A B C D参与 其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱 若每名参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身 则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练 若出现多位导师为同一位学员转身 则选择权反转 交由学员自行选择导师 已知某期 中国好声音 中 8名选手唱完后 四位导师为其转身的情况统计如下 记转身为T 现从这8名选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况 1 求选出的两人获得导师为其转身的人次和为4的概率 2 记选出的2人获得导师为其

12、转身的人次之和为X 求X 的分布列及数学期望E X 解 1 在8名选手中 2 7有4名导师为其转身 5 8有3名导师为其转身 1 4 6有2名导师为其转身 3只有1名导师为其转身 2 X的所有可能取值为3 4 5 6 7 8 所以X的分布列为 题型3 独立性检验 独立性检验是新课标增加的内容 高考试卷多次以解答题形式考查 体现新课程的理念 因此我们在备考时也应该引起足够的重视 例3 2017年新课标 海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽取了100个网箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图如图7 3 图7 3 1 设两种养殖方法的箱产量相互独立 记

13、A表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg 新养殖法的箱产量不低于50kg 估计A的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 根据箱产量的频率分布直方图 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 精确到0 01 附 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 解 1 记B表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg C表示事件 新养殖法的箱产量不低于50kg 由题意知P A P BC P B P C 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62 故P B 0 62 新养殖法的箱产量不

14、低于50kg的频率为 0 068 0 046 0 010 0 008 5 0 66 故P C 0 66 因此 事件A的概率估计值为0 62 0 66 0 4092 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下 K2 200 62 66 34 38 2100 100 96 104 15 705 由于15 705 6 635 故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中 箱产量低于50kg的直方图面积为 0 004 0 020 0 044 5 0 340 5 0 5 0 340 068 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 52 35 kg 规律方法 1 本题

15、是独立性检验问题 关键是由2 2列联表确定a b c d n的值 高考对独立性检验这部分的要求是 了解独立性检验 只要求2 2列联表 的基本思想 方法及其简单应用 在复习中 不可小视 2 利用公式K2 计算要准确 近似计算要精确到小数点 后三位 要选择可选择满足条件P K2 k0 的k0作为拒绝域的临界值 互动探究 3 2017年广东广州一模 近年来 我国电子商务蓬勃发展 2016年 618 期间 某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币 与此同时 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统 从该评价系统中选出200次成功交易 并对其评价进行统计 网购者对商品的满意率为0 6 对服务的满意率为0 75 其中对商品和服务都满意的交易为80次 1 根据已知条件完成下面的2 2列联表 并回答能否有99 的把握认为 网购者对商品满意与对服务满意之间有关系 2 若将频率视为概率 某人在该网购平台上进行的3次购物中 设对商品和服务都满意的次数为随机变量X 求X的分布列和数学期望E X n ad bc 2 a b c d a c b d 其中n a b c d为 附 K2 样本容量 解 1 2 2列联表 K2 200 80 10 40 70 2150 50 120 80 11 111 因为11 111 6 635 所以能有99 的把握认为 网购者对商品满意与对服务满意之间有关系