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1、高三数学试题 理科 斗鸡中学高三数学理科组 2020 9 28 一 选择题 本大题共12个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 2 4 x Px 22 4 Qy xyxR yR 则PQI A 1 2 B 3 1 0 2 C D Q 2 已知 5 3 2 sin 4 3 2 tan 则所在的象限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知 1 2zi 2 13zi 则复数 2 1 5 zi z 的虚部为 A i B i C 1D 1 4 函数axxy1的图象关于点 2 0 对称 则a等于 A 3 B 5
2、 C 7 D 9 5 如右图 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1 的 正三角形 俯视图是一个圆 那么该几何体的体积为 A 8 3 B 6 3 C 24 3 D 2 1 6 如图 程序框图所进行的求和运算是 A 1111 24620 L B 111 1 3519 L C 111 1 2418 L D 2310 1111 2222 L 7 设 x y满足约束条件0 x y x 4312xy 则 23 1 xy x 取值范围是 A 1 5 B 2 6 C 3 10 D 3 11 开始 S 0 n 2 n 21 是 否 S S 1 n n n 2 输出 S 结束 8 如图在ABCV中 点 O是
3、 BC的中点 过点 O的直线分别交 直线 AB AC于不同的两点 M N 若 ABmAMACnAN uuu ruu uu ru uu ruuu r 则mn的最大值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4 9 已知集合1 2 3 4A 5 6 7B 8 9C 现在从三个集合中取出两个集 合 再从这两个集合中各取出一个元素 组成一个含有两个元素的集合 则一共可 以组成 个集合 A 24 B 36 C 26 D 27 10 已知 12 F F分别为椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点 过 1 F且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C于 A B两点 若 ABF2为锐角三角形 则椭圆C的
4、离心率 e 的取值范围为 A 0 2 1 B 0 3 1 C 2 1 1 D 31 1 11 如图所示 若向圆2 22 yx内随机投一点 该点落在 圆 2 22 yx内任何一点是等可能的 则所投的点落在圆与y 轴 及曲线 0 2 xxy围成的阴影图形S内部的概率是 A 6 1 4 1 B 12 1 C 8 1 D 12 1 8 1 12 幂指函数 g x yf x在求导时 可运用对数法 在函数解析式两边求对数得 ln y ln xfxg 两 边 同 时 求 导 得 ln yfx gxf xg x yfx 于 是 y ln g x fx f xgxf xg x f x 运用此方法可以探求得知 1
5、 x yx的一个单 调递增区间为 A 0 2 B 2 3 C e 4 D 3 O B C A M N B A F 1 F2 x y 8 二 填空题 本大题共有4 个小题 每小题5分 13 已知 3 1 a 1 1 b bac a和c的夹角是锐角 则实数的取值范 围是 14 2 48sin40cos40 cos401 sin 50 oo oo 15 若 316 2727 3 2 nnn CCnNx x 的展开式中的常数项是 用数字作 答 16 在 Rt ABC中 0 90C ACbBCa 则 Rt ABC的外接圆半径为 22 2 ab r 将此结论类比到空间 类似的结论 三 解答题 本大题共6
6、小题 19 20 21 22 23 题每题 12 分 24 题 14 分共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已 知 向 量 2 2sin cos cos 23 0axxbx u ru r 向量其中 设 函 数 f xa b rr 若 xf图象的相邻两对称轴间的距离为 求 xf的解析式 若对任意实数 3 6 x 恒有2 mxf成立 求实数m的取值范围 18 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示 只要面试合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不 签约 设每人面试合格的概率都是 1 2 且面试是否合格互不影响 求 至少有
7、 1 人面试合格的概率 签约人数的分布列和数学期望 19 本小题满分 12分 如图 四棱锥 PABCD 中 PB底面 ABCD CDPD 底面 ABCD 为直角梯形 ADBC ABBC 3ABADPB 点 E 在棱 PA上 且2PEEA 1 求异面直线 PA与 CD所成的角 2 求证 PC平面 EBD 3 求二面角 ABED 的大小 用反三角函数表示 20 已知点 A B的坐标分别是 0 1 0 1 直线 AM BM相交于点M 且它们的 斜率之积为 1 2 1 求点 M轨迹 C的方程 2 若过点2 0D的直线 l 与 1 中的轨迹 C 交于不同的两点 E F E在 D F 之间 试求ODE 与
8、ODF 面积之比的取值范围 O为坐标原点 P A B C D E 21 已知函数 6 1 ln 3 xfyxylbxxgaxxf与直线相切 1 求a的值 2 若方程 0 在xgxf上有且仅有两个解 21 x x求b的取值范围 并比较 2121 1xxxx与的大小 3 设 2Nnn时 求证 1 ln 3 3ln 2 2ln n n 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 那么按所组的第一题记分 做答时 用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选证 在半径为 1 的圆 O中 两弦 AB 和CD 交于点 E 且 EFCB E
9、FAD交的延长于点 F 若2OF 求 EF 的长 23 本小题 10分 选修 4 4 极坐标与参数方程 平面直角坐标系中 直线l 经过点 1 1 P 倾斜角 6 将极点放在平面直角坐标 系的坐标原点 极轴与x轴正半轴重合 曲线C的极坐标方程是4cos 写出直线 l 的参数方程与曲线C的普通方程 设 l 与曲线 C相交于BA 两点 求点 P 到BA 两点的距离之积 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 关于x的二次方程 2 6 2 21 0 xxaa有实根 求a的取值范围 理科数学答案 一 选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D A C
10、A C A D B C C D A 二 填空题 13 2 5 且0 14 2 15 80 16 三条侧棱SA SB SC两两互相垂直的三棱锥SABC SAaSBb SCc 则此三棱锥的外接球半径为 222 2 abc R 三 解答题 如与答案解法不同 请参考答案酌情给分 17 解 2cos1 32sin 32 cos cos sin2 2 xxxxxbaxf 3 3 2sin 2x 3 分 相邻两对称轴的距离为 2 1 2 2 2 3 3 sin 2 xxf 6 分 II 3 2 2 3 3 6 xx 7 分 32 32xf 8 分 又mxfmmxf2 2 2 10 分 若对任意 3 6 x
11、恒有 322 322 2 m m mxf则有成立 解得3223m 12 分 18 解 用 A B C分别表示事件甲 乙 丙面试合格 由题意知 A B C相互独 立 且 P A P B P C 1 2 2 至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 1 1 28 P ABCP A P B P C 4 的可能取值为 0 1 2 3 5 0 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 3231113 2228 7 1 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 333 1113 22
12、28 1 2 8 PP ABCP A P B P C 1 3 8 PP ABCP A P B P C 10 所以 的分布列是 0 1 2 3 P 3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 3311 01231 8888 E 12 19 解 1 PB 底面 ABCD CD PD CD BD 在直角梯形 ABCD 中 AB AD 3 BC 6 取 BC的中点 F 连结 PF 则 AF CD PAF为异面直线 PA和 CD所成的角或其补角 在 PAF中 AF PA PF 3 2 PAF 60 4 分 异面直线 PA和 CD所成的角为 60 2 连结 AC交 BD于 G 连结 EG 1 2 AGAD G
13、CBC 又 1 2 AE EP AGAE GCEP PC EG 又 EG 平面 EBD PC 平面 EBD PC 平面 EBD 8 分 3 PB 平面 ABCD AD PB 又 AD AB AD 平面 EAB 作 AH BE 垂足为 H 连结 DH 则 DH BE AHD 是二面角 A BE D的平面角 在 ABE中 BE 5 sin453 5 5 AB AE AH BE tan5 AD AHD AH 故二面角 ABED 的大小为arctan5 12 分 或解 1 建立如图所示的直角坐标系B xyz 设 BC a 则 A 0 3 0 P 0 0 3 D 3 3 0 C a 0 0 3 3 0
14、CDa u uu r 3 3 3 PD uu u r CDPD 0CD PD uuu r uu u r 即3 3 90a 6a 3 3 0 0 3 3 CDPA uuu ruu u r 91 cos 2 3 23 2 CD PA PA CD CDPA u uu r u u u r uu u r uuu r u uu ru uu r 异面直线 PA和 CD所成的角为 60 2 同解法一 1 1 1 1 2 12 3 1 0 2 1 3 3 0 0 210 330 0 1 2 1 2 11 1 22 1 0 0 cos BEDnx yBEBD nBEy xy nBD x y n ABEn nn u
15、ruuu ruuu r u ruuu r u ruuu r ur u u r u r ur 设平面的法向量为因为 由得 所以 于是 又因为平面的法向量为 所以 16 66 6 arccos 6 ABED u 故二面角的大小为 20 解 1 设点 M 的坐标为 x y 1 2 AMBM kk 111 2 yy xx 整理 得 2 2 1 2 x y 0 x 这就是动点 M的轨迹方程 2 方法 1 如图 由题意知直线l 的斜率存在 设 l 的方程为2yk x 1 2 k 将 代入1 2 2 2 y x 得0 28 8 12 2222 kxkxk 由0 解得 21 0 2 k 设 11 E x y
16、22 F xy 则 12 28 12 8 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 令 OBE OBF S S 则 BE BF 即BEBF u uu ruu u r 即 12 22xx 且 01 由 得 12 2 1212122 4 2 2 21 2 2 2 2 4 21 xx k xxx xxx k 即 2 2 2 22 4 12 21 2 2 21 x k x k 2 2 22 2141 1 8 1 2 k k即 2 1 0 2 kQ且 21 4 k 2 411 0 1 22 且 2 411 1 24 解得32 232 2且 1 3 分 01Q 1223且 1 3 OBE与 OBF面积之比的取值范围是 11 322 1 33 U 21 1 设切点 00 yx 则 00 xy ax xf 0 0 1 1 1 0 0 ax xfk 0 ln 1 000 axyax且 1 0 0 ax 3 分 2 由bxax 3 6 1 ln 得0 1ln 6 1 3 bxx 令 xhbxx 1ln 6 1 3 1 2 22 1 1 2 2 1 1 2 2232 x xxx x xx x
