《2020版高考理科数学一轮复习全国版通用版：第8章 第3节 圆的方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学一轮复习全国版通用版：第8章 第3节 圆的方程（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节圆的方程考纲传真(教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第131页)基础知识填充1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0
2、a)2(y0b)2r2.知识拓展过x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程：x0xy0yr2.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()解析由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当t0时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案(
3、1)(2)(3)(4)2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x1)2(y1)22，故选D3(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B CD2A圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.4点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1B0a1C1aDa1D由(2a)2(a2)25得a1.5(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,
4、1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.(对应学生用书第132页)圆的方程(1)(2017豫北名校4月联考)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24(2)(2015全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2B8C4D10(1)D(2)C(1)设圆(x2)2y24的圆心(2,0
5、)关于直线yx对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a1，b，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.故选D(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C规律方法求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列
6、出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.跟踪训练(1)(2018海口调研)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的标准方程为() A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21(2)(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(1)C(2)(x2)2y29(1)到两直线3x4y0和3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立方程组解得所以圆M的圆心
7、坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为2，所以圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x3)2(y1)21，故选C(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.与圆有关的最值问题已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可
8、知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.1(变化结论)在本例的条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，则xyb0.当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值为9，最小值为1.2(变换条件)若本例中条件“点Q(2,3)”改为“点Q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解圆心C(2,7)到直线3x4y10上动点Q的最小值为点C到直线3x4y10的距离，|QC|mind7.又圆C的半径r2，|MQ|的最小值为72.规律方法与圆有关的最值
9、问题的三种几何转化法(1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.跟踪训练(1)(2018陕西质检(一)圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()A1B2C1D22(2)(2017广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()A2BC4D(1)A(2)D(1)由已知得圆的标准方程为(x1)2(y1)21，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的
10、点到直线的距离的最大值是1，故选A(2)由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D与圆有关的轨迹问题已知A(2,0) 为圆x2y24上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段A
11、P中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.跟踪训练已知点A(1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|AB|，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程解由题意可知：动点C的轨迹是以(1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x1)2y29.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x01,2y04)，代入点C的轨迹方程得4x4(y02)29，化简得x(y02)2，故点M的轨迹方程为x2(y2)2.8
