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1、第七节正弦定理和余弦定理考纲传真(教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(对应学生用书第62页)基础知识填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)abc2bccos A；bca2cacos B；cab2abcos C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解
2、两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)知识拓展1在ABC中，ABabsin Asin B2合比定理：2R.3在锐角三角形中AB；若A，则B，C.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若bca，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsin Asin B(2)错误由cos A0
3、知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()ABC D1B根据，有，得sin B.故选B3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A BC2 D3D由余弦定理得5b42b2，解得b3或b(舍去)，故选D4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_4cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.5(教材改编)在ABC中，acos Ab
4、cos B，则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形(对应学生用书第63页)利用正、余弦定理解三角形(2018广州综合测试(二)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高等于a，求cos A的值解(1)因为bcos Cbsin Ca，由正弦定理得sin Bcos Csin Bsin Csin A因为ABC，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(
5、BC)即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C因为sin C0，所以sin Bcos B因为cos B0，所以tan B1.因为B(0，)，所以B.(2)法一：设BC边上的高线为AD，则ADa.因为B，则BDADa，CDa.所以ACa，ABa.由余弦定理得cosBAC.所以cosBAC的值为.法二：设BC边上的高线为AD，则ADa.因为B，则BDADa，CDa.所以ACa，ABa.由正弦定理得，则sinBAC.在ABC中，由ABAC，得CB，所以BAC为钝角所以cosBAC.所以cosBAC的值为.规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等
6、量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.2.(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用.(3)重视在余弦定理中用均值不等式，实现a2b2，ab，ab三者的互化.跟踪训练(1)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(2)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.(1)(2)60(1)在ABC中，co
7、s A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.(2)法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，条件等式变为2bcos Bb，cos B.又0B，B.判断三角形的形状(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状
8、为() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形(1)B(2)C(1)由已知及正弦定理得sin Bcos Csin Ccos BsinA，即sin(BC)sinA，又sin(BC)sin A，sin A1，A.故选B(2)，bc.又(bca)(bca)3bc，bcabc，cos A.A(0，)，A，ABC是等边三角形规律方法判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边
9、之间的关系进行判断.(2)化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.易错警示：无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.跟踪训练设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2acabab.与三角形面
10、积有关的问题(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC得sin B8sin，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cosB32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得bac2accos B(ac)2ac(1cos B)3624.所以b2.规律方法三角形面积公式的应用方法(1)对于面积公式Sabsin Cacsin
11、Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，所以解决此类问题通常围绕某个已知角，将余弦定理和面积公式都写出来，寻求突破跟踪训练(2018深圳二调)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2basin Bbcos A，c4.(1)求A；(2)若D是BC的中点，AD，求ABC的面积. 解(1)由2basin Bbcos A及正弦定理，又0B，可得2sin Acos A，即有sin1，0A，A，A，A.(2)设BDCDx，则BC2x，由余弦定理得cosBAC，得4xb4b16.ADB180ADC，cosADBcosADC0，由余弦定理得0，得2xb2.联立，得b4b120，解得b2(舍负)，SABCbcsinBAC242.9
