《高中数学选修1-1课件：3.3.3 函数的最大（小）值与导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修1-1课件：3.3.3 函数的最大（小）值与导数（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3 3函数的最大 小 值与导数 第三章 3 3导数在研究函数中的应用 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点函数的最大 小 值与导数 思考1观察 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 如图为y f x x a b 的图象 答案 极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 思考2结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答案 存在 f x min f a f x max f x3 思考3函数y f
2、x 在 a b 上的最大 小 值一定是某极值吗 答案 不一定 也可能是区间端点的函数值 思考4怎样确定函数f x 在 a b 上的最小值和最大值 答案 比较极值与区间端点的函数值 最大的是最大值 最小的是最小值 梳理 1 函数的最大 小 值的存在性一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值与最小值 2 求函数y f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 连续不断 各极值 极值 端点 最大值 最小值 题型探究 类型一求函数的最值 例1求
3、下列函数的最值 1 f x 2x3 12x x 2 3 解答 命题角度1不含参数的函数求最值 f x 2x3 12x 当x 3时 f x 取得最大值18 所以当x 0时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 解答 求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值大小 确定最值 反思与感悟 跟踪训练1求函数f x ex 3 x2 x 2 5 的最值 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x
4、 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 函数f x 在区间 2 5 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 当x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 解答 例2已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b R e 2 71828 为自然对数的底数 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 解答 命题角度2含参数的函数求最值 当x x 0 1 变化时 g x g x 的变化情况如下表 g x min g ln2a eln2a 2aln2a b 2a 2aln2a b g x min g 1 e 2a
5、 b 对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 反思与感悟 跟踪训练2已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 解答 f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 单调递减 所以当x 0时 f x 有最大值f 0 0 类型二由函数的最值求参数 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解答 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题
6、设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 解答 f x x2 x
7、 2a 当x x1 x2 时 f x 0 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当0 a 2时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 故a 1 x2 2 类型三与最值有关的恒成立问题 例4设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 解答 由题设知f x 的定义域为 0 令g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调递增区间 因此x 1是g x 在 0 上的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 解答 即lna0成立 由 1 知 g x 的最小值为
8、1 所以lna 1 解得0 a e 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练4已知2xlnx x2 ax 3对一切x 0 恒成立 求a的取值范围 解答 由2xlnx x2 ax 3 令h x 0 得x 1 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递增 h x min h 1 4 a h x min 4 a的取值范围是 4 当堂训练 1 2 3 4 5 1 设函数f x 2x 1 x 0 则f x A 有最大值B 有最小值C 是增函数D 是减函数 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 函数y 的最大值为A e 1B eC e2D 答案 1 2 3 4 5 3
9、f x x3 12x 8在 3 3 上的最大值为M 最小值为m 则M m 答案 解析 32 因为函数f x x3 12x 8 所以f x 3x2 12 令f x 0 解得x 2或x 2 令f x 0 解得 2 x 2 故函数在 2 2 上是减函数 在 3 2 2 3 上是增函数 所以函数在x 2时取到最小值f 2 8 24 8 8 在x 2时取到最大值f 2 8 24 8 24 即M 24 m 8 所以M m 32 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 解析 7 规律与方法 1 求函数在闭区间上的最值 只需比较极值和端点处的函数值即可 若函数在一个开区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 2 已知最值求参数时 可先确定参数的值 用参数表示最值时 应分类讨论 3 恒成立 问题可转化为函数最值问题
