《高中数学北师大版选修1-1课件：第一章 3.1 全称量词与全称命题 -3.2 存在量词与特称命题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修1-1课件：第一章 3.1 全称量词与全称命题 -3.2 存在量词与特称命题（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1全称量词与全称命题3 2存在量词与特称命题 学习目标1 理解全称量词与存在量词的含义 2 理解并掌握全称命题和特称命题的概念 3 能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一全称量词与全称命题 观察下列命题 1 每一个三角形都有内切圆 2 所有实数都有算术平方根 3 对一切有理数x 5x 2还是有理数 以上三个命题中分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 答案 命题 1 2 3 分别使用量词 每一个 所有 一切 命题 1 3 是真命题 命题 2 是假命题 三个命题中的 每一个 所有 一切 都有全部 所有
2、的意义 要求命题对某个集合的所有元素都成立 而负实数没有算术平方根 故命题 2 为假命题 梳理 判断全称命题真假性的方法 对于全称命题 任意x M p x 要判断它为真 需要对集合M中的每个元素x 证明p x 成立 要判断它为假 只需在M中找到一个x 使p x 不成立 即 存在x M p x 不成立 全称量词 任意 x M p x 知识点二存在量词与特称命题 思考 观察下列命题 1 有些矩形是正方形 2 存在实数x 使x 5 3 至少有一个实数x 使x2 2x 2 0 以上三个命题分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 答案 命题 1 2 3 分别使用了量词 有些 存在 至少
3、有一个 命题 1 2 是真命题 命题 3 是假命题 三个命题中的 有些 存在 至少有一个 等词都是对某个集合内的个别元素而言 要说明这些命题是真命题 只要举出一个例子即可 所以命题 1 2 是真命题 而任意实数x x2 2x 2都大于0 所以命题 3 为假命题 梳理 存在量词 存在 x M p x 判断特称命题真假性的方法 要判断一个特称命题是真命题 只要在限定集合M中 至少能找到一个x 使p x 成立即可 否则 这一特称命题是假命题 题型探究 例1判断下列语句是全称命题 还是特称命题 1 凸多边形的外角和等于360 2 有些实数a b能使 a b a b 解答 类型一识别全称命题与特称命题
4、可以改写为 所有的凸多边形的外角和等于360 是全称命题 解答 含有存在量词 有些 故是特称命题 解答 含有全称量词 任意 故是全称命题 4 有一个函数 既是奇函数 又是偶函数 解答 含有存在量词 有一个 是特称命题 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词 由于某些全称命题的量词可能省略 所以要根据命题表达的意义判断 同时要会用相应的量词符号正确表达命题 反思与感悟 答案 跟踪训练1下列命题不是特称命题的是A 有些实数的平方可以等于零B 存在x 0 使x2 0C 至少有一个三角函数的周期是2 D 二次函数的图像都是抛物线 类型二全称命题与特称命题的真假的判断 例2判断下列命题的真假
5、1 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 都对应一点 解答 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 与平面直角坐标系中的点是一一对应的 故该命题是真命题 2 存在一个实数 它的绝对值不是正数 解答 存在一个实数零 它的绝对值不是正数 故该命题是真命题 3 对任意实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 解答 存在x1 0 x2 x1 x2 但tan0 tan 故该命题是假命题 4 存在一个函数 既是偶函数 又是奇函数 解答 存在一个函数f x 0 它既是偶函数 又是奇函数 故该命题是真命题 引申探究例2若将题中 2 3 4 改为 对所有的实数 它的绝对值均不是正数 解答
6、 存在实数1 它的绝对值是正数 故该命题是假命题 存在实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 解答 任意一个函数 都既是偶函数又是奇函数 判断其真假 解答 如函数y x2 1 它是偶函数 但不是奇函数 故该命题是假命题 1 判断全称命题真假的方法 要判断一个全称命题为真 必须对在给定集合的每一个元素x 均使命题p x 为真 要判断一个全称命题为假时 即否定一个全称命题可以通过 举反例 来说明 在给定的集合中找到一个元素x 使命题p x 为假 反思与感悟 2 判断特称命题真假的方法 要判断一个特称命题为真 只要在给定的集合中找到一个元素x 使命题q x 为真 要判断一个特称命题为
7、假 必须对在给定集合的每一个元素x 均使命题q x 为假 所以说 全称命题与特称命题之间有可能转化 它们之间并不是对立的关系 跟踪训练2判断下列命题是全称命题 还是特称命题 并判断其真假 1 对任意x N 2x 1是奇数 解答 是全称命题 因为对任意x N 2x 1都是奇数 所以全称命题 对任意x N 2x 1是奇数 是真命题 2 每一个平行四边形的对角线都互相平分 解答 是全称命题 由平行四边形的性质可知此命题是真命题 解答 4 存在一组m n的值 使m n 1 解答 是特称命题 当m 4 n 3时 m n 1成立 所以该命题是真命题 5 至少有一个集合A 满足A 1 2 3 解答 是特称命
8、题 存在A 3 使A 1 2 3 成立 所以该命题是真命题 类型三全称命题 特称命题的应用 例3 1 已知关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 求实数a的取值范围 解答 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 2a 1 2 4 a2 2 0 即4a 7 0 2 令p x ax2 2x 1 0 若对任意x R p x 是真命题 求实数a的取值范围 解答 对任意x R p x 是真命题 对任意x R ax2 2x 1 0恒成立 当a 0时 不等式为2x 1 0不恒成立 当a 0时 若不等式恒成立 即a的取值范围是 1 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用
9、 注意二者的区别 反思与感悟 跟踪训练3 1 对于任意实数x 不等式sinx cosx m恒成立 求实数m的取值范围 解答 令y sinx cosx x R 又 任意x R sinx cosx m恒成立 2 存在实数x 不等式sinx cosx m有解 求实数m的取值范围 解答 令y sinx cosx x R 又存在x R sinx cosx m有解 当堂训练 2 3 4 5 1 1 下列命题中特称命题的个数是 有些自然数是偶数 正方形是菱形 能被6整除的数也能被3整除 对于任意x R 总有 sinx 1 A 0B 1C 2D 3 命题 含有存在量词 命题 可以叙述为 所有的正方形都是菱形
10、是全称命题 命题 可以叙述为 一切能被6整除的数也都能被3整除 是全称命题 而命题 是全称命题 故有一个特称命题 答案 解析 2 3 4 5 1 2 下列命题中 不是全称命题的是A 任何一个实数乘以0都等于0B 自然数都是正整数C 每一个向量都有大小D 一定存在没有最大值的二次函数 D选项是特称命题 答案 解析 2 3 4 5 1 3 下列含有量词的命题为真命题的是A 所有四边形都有外接圆B 有的等比数列的项为零C 存在实数没有偶次方根D 任何实数的平方都大于零 C选项中存在负数没有偶次方根 答案 解析 2 3 4 5 1 4 对任意的x 0 tanx m是真命题 则实数m的最小值为 答案 解
11、析 1 m 1 则m的最小值为1 2 3 4 5 1 5 将下列命题改写为含有量词的命题 使其为真命题 1 相等的角是对顶角 存在相等的两个角是对顶角 解答 2 sinx cosx 3 对任意x R sinx cosx 3 解答 规律与方法 1 判断命题是全称命题还是特称命题 主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词 有些全称命题虽然不含全称量词 可以根据命题涉及的意义去判断 2 要确定一个全称命题是真命题 需保证该命题对所有的元素都成立 若能举出一个反例说明命题不成立 则该全称命题是假命题 3 要确定一个特称命题是真命题 举出一个例子说明该命题成立即可 若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立 则该特称命题是假命题 本课结束
