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1、 数值分析 第5章常微分方程数值解法 1引言 1 0基本概念1 常微分方程的初值问题 称为具有初值 1 2 的常微分方程 若f x y 在 a x b y 上连续 且关于y满足Lip条件 常数L使 f x y1 f x y2 L y1 y2 则初值问题 1 1 1 2 存在唯一连续可微解y x 注 以下总假设f满足Lip条件 1引言 1 0基本概念1 常微分方程的初值问题 称为具有初值 1 2 的常微分方程 1 1 1 2 等价于微分方程 1 3 注 一般无初等解 解析解 即使有形式也复杂 1引言 1 0基本概念2 初值问题的数值解设 1 1 1 2 的解y x 在节点xi处的近似解值为yi
2、y xi a x1 x2 xn b则称yi i 1 2 n 为 1 1 1 2 的数值解 又称y xi 的计算值 1引言 1 0基本概念3 数值方法 两种转化 由微分出发的数值方法 由积分出发的数值方法 计算方法步进法 从初始条件出发 逐步求y1 y2 yn 又有两种 单步法 多步法 注 采用等距节点 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 6 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 前进欧拉公式 1 6 的前半部分为 令yi 1 yi hf xi yi 1 7 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 前进欧拉公式令yi 1 yi hf xi
3、 yi 1 7 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 记 1 8 则称 1 7 为前进欧拉求解公式 简称为欧拉公式或欧拉法 1 8 称为欧拉公式的余项 ei 1 h y xi 1 yi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式 1 6 的后半部分令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 注 1 9 中f xi 1 yi 1 f xi 1 y xi 1 余项 1 1
4、0 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 注 称 1 9 为后退欧拉公式 后退欧拉法 称 1 10 为后退欧拉法的误差近似值 欧拉法与后退欧拉公式的区别 1 7 为直接计算公式称显式公式 1 9 为关于函数方程称隐式公式 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 例1 取h 0 1求解初值问题 1 11 解 xi ih 0 1 i i 0 1 2 10 欧拉法 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 例1 取h 0 1求解初值问题 1 11 解 xi ih 0 1 i i 0 1 2 1
5、0 后退欧拉法 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 注 为避免求解函数方程 采用显式与隐式结合的方法 此方法称为预测 校正系统 求解过程为 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 预测 校正系统 例2 利用预测 校正系统求解例1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 预测 校正系统 注 显式比隐式方便 但有时隐式效果比显式好 4介绍 1引言 1 2截断误差定义1 1称ek h y xk yk为计算yk的公式第k步的局部截断误差 注 局部 是指在计算第k步时 假定前面yi y xi i k 而yk y xk 欧拉法 后退欧拉法 一般根据y xk 对y k y k 做估计 1引言 1 2截断误差定
6、义1 2设ei h i 1 2 k 为求解公式第i步的局部截断误差 称为该求解公式在点上的整体截断误差 注 局部截断误差ek h 与yk有关 整体截断误差Ek h 与y1 y2 yk有关 所有ek h 都与h有关 1引言 1 2截断误差定义1 3若局部截断误差e h O hp 1 则称该求解公式具有p阶精度 注 欧拉法具有一阶精度 精度越高越好 1引言 作业P2081 2 3 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 1 13 若已知y xk yk 则计算积分可求出y xk 1 如用矩形公式求积分则有y xk 1 y xk hf xk yk 令yk 1 y xk hf xk yk 即为欧拉公式 故
7、欧拉公式又称矩形法 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 1 13 考虑1 梯形公式记 1 14 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式记 1 14 称 1 14 为梯形 求解 公式 简称梯形法 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式梯形 求解 公式 简称梯形法 1 14 注 梯形公式的余项 故是二阶精度 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式 1 14 梯形公式为隐式公式 预测 校正系统 1 15 称 1 15 为改进的欧拉公式 也可记为 1引言 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式 1 14 可以证明 改进欧拉公式也具有二阶精度 1引言 1 3基于数值积分
8、的求解公式 例3 用欧拉法 梯形法以及改进欧拉法求解取h 0 1 计算到x 0 5 解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 Euler法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 hxk 1 1 h yk 1 h 0 1xk 1 0 9yk 1 0 1 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 例3 用欧拉法 梯形法以及改进欧拉法求解解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 梯形法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 xk yk 1 2解出yk 得 方程 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 例3 用欧拉法
9、 梯形法以及改进欧拉法求解解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 改进Euler法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 xk yk h xk yk 1 1 2得 0 905yk 1 0 045xk 1 0 05xk 0 095 方程 1引言 1 3基于数值积分的求解公式2 辛卜生公式记 1 17 1引言 1 3基于数值积分的求解公式2 辛卜生公式记 1 17 其余项 1引言 1 3基于数值积分的求解公式2 辛卜生公式记 1 17 将 xk 1 xk 对分 调整下标为 xi 2 xi xi 2 xk 1 xi 1 xk 1 h1 xi xk 1
10、2h1 xk则 1 17 化为 1 19 称 1 19 为辛卜生求解公式 其中fk 2 f xk 2 y xk 2 fk 1 f xk 1 y xk 1 fk f xk y xk 1引言 1 3基于数值积分的求解公式2 辛卜生公式记 1 17 1 19 称 1 19 为辛卜生求解公式 其中fi 2 f xi 2 y xi 2 fi 1 f xi 1 y xi 1 fi f xi y xi 注 1 19 的误差 1引言 1 3基于数值积分的求解公式2 辛卜生公式记 1 17 1 19 称 1 19 为辛卜生求解公式 其中fi 2 f xi 2 y xi 2 fi 1 f xi 1 y xi 1
11、fi f xi y xi 注 隐式 需显化 多步 将在 3中讨论 2Runge Kutta法 2 0原理其中K f y y 称为y在 xi 1 xi 上的平均斜率 欧拉法 改进欧拉法 2 1 2Runge Kutta法 2 0原理其中K f y y 称为y在 xi 1 xi 上的平均斜率 对 1 17 显化 辛卜生 2 4 2Runge Kutta法 2 0原理其中K f y y 称为y在 xi 1 xi 上的平均斜率 设想 在中多计算 预测 几个点上的值然后可加权取平均值作为的近似值可能构成更高阶的公式 一阶 二阶 三阶 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式 其中0
12、j 1 yi 1 jh是y xi 1 jh 的预测值 称 为R K公式注 2 1 2 4 分别称为二阶 三阶R K公式 j j j为待定系数 使 的阶数尽量高 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式参数的确定 以m 2为例 欲求 1 2 2 原则 使ei h y xi yi的阶数尽可能高 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式展开展开 原则 使ei h y xi yi的阶数尽可能高 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式 原则 使ei h y xi yi的阶数尽可能高 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式
13、欲求截断误差ei h y xi yi关于h的阶数尽可能高 应使 无穷多解 从而有许多2阶R K公式 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式应使注 取 1 2 1 2 2 1 即为改进欧拉公式 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式应使注 取 1 0 2 1 2 1 2 即为中点公式 2Runge Kutta法 2 1Runge Kutta公式应使注 二阶R K公式的截断误差为故为二阶方法 相仿可得更高阶的R K公式 2Runge Kutta法 2 2经典R K公式在4解R K公式中最重要的是经典R K公式 2 6 注 2 6 为4阶方法 2Runge
14、 Kutta法 2 2经典R K公式在4解R K公式中最重要的是经典R K公式 2 6 注 R K法对4阶以上不一定能提高整数阶 2Runge Kutta法 2 2经典R K公式 例4 使用三阶 四阶R K法求解初值问题 的部分计算值y1 y2 y3 其中h 0 1 解 使用三阶R K法 2Runge Kutta法 例4 使用三阶 四阶R K法求解初值问题 的部分计算值y1 y2 y3 其中h 0 1 解 使用三阶R K法 2Runge Kutta法 例4 使用三阶 四阶R K法求解初值问题 的部分计算值y1 y2 y3 其中h 0 1 解 使用四阶R K法 2Runge Kutta法 例4
15、使用三阶 四阶R K法求解初值问题 的部分计算值y1 y2 y3 其中h 0 1 解 使用四阶R K法 2Runge Kutta法 注使用R K法要求具备较好的光滑性 否则效果不如低阶的 作业P2098 9 10 3线性多步法 单步法的优点 简单 计算yk 1只用yk 缺点 没有充分利用前面的信息且计算y xk h 较困难回顾Simpson 1 19 考虑 3 1 两种插值求积 将 xk 1 xk 增加内部节点 改为 xk 2 xk 导出的公式称为闭型求解公式 线性多步 3线性多步法 考虑 3 1 两种插值求积 将 xk 1 xk 增加内部节点 改为 xk 2 xk 导出的公式称为闭型求解公式
16、 在 xk 1 xk 外增加插值节点 导出的公式称为开型求解公式 开型有显和隐 闭型也有显和隐 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式取节点xk 3 xk 2 xk 1 在 xk 3 xk 上作F x f x y x 的插值多项式 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式取节点xk 3 xk 2 xk 1 在 xk 3 xk 上记xk i xk ih x xk th 则 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式取节点xk 3 xk 2 xk 1 记xk i xk ih x xk th 则代入 3 1 得 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式取节点xk 3 xk 2 xk 1 记xk i xk ih x xk th 则令 3 4 称 3 4 为亚当斯显式求解公式 线性多步 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式取节点xk 3 xk 2 xk 1 记xk i xk ih x xk th 则余项 从而 3 4 具有3阶精度 称为3阶亚当斯求解公式 3线性多步法 3 1开型求解公式1 亚当斯显式求解公式类似地取xk
