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1、离心率的取值范围问题求解策略方法1 借助平面几何图形中的不等关系基本思路：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，第三步 解不等式，确定离心率的范围.例1已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化. 如图，由于线段的垂直平分线经过点，则，利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距
2、离），则有，.【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式练习】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线,，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P，令切线互相垂直，则只需要，即,，解得，即故椭圆的离心率的取值范围为方法2 借助题目中给出的不等信息基本思路：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；来源:Zxxk
3、.Com第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A. (1，) B. (1,2 C. (1， D. (1,3【答案】D【解析】双曲线的左右焦点分别为,P为双曲线右支一的任意一点，当且仅当，即时取等号，即，故选D.【变式练习】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】， ，.选B. 方法3 借助函数的值域求解范围基本思路：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步 通过确定函数的定义域；第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.来源:Z#xx#k.Com例6. 已知椭圆与双曲线的焦点重合, 分别为的离心率,则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆与双曲线焦点重合，得，由，可得，所以=所以，故选C【变式练习】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）A B C D【答案】A【解析】由题设可知即,解之得,即,故.应选A. 关注公众号“品数学”，获取更多干货
