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1、第三节可测集的结构 第三章测度论 注 开集 闭集既是型集也是型集 有理数集是型集 但不是型集 无理数集是型集 但不是型集 有理数集可看成可数个单点集的并 而单点集是闭集 通过取余型集与型集相互转化 并与交 开集与闭集互换 例区间是可测集 且 注 零集 区间 开集 闭集 型集 可数个开集的交 型集 可数个闭集的并 Borel型集 粗略说 从开集出发通过取余 取交或并 有限个或可数个 运算得到 都是可测集 证明见书本p66 2 可测集与开集 闭集的关系 即 可测集与开集 闭集只相差一小测度集 可测集 差不多 就是开集或闭集 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并 证明 若 1 已证明 由Ec可测可
2、知 取F Gc 则F为闭集 1 若E可测 则 证明 1 当mE 时 由外测度定义知 从而 这里用到mE 对每个Ei应用上述结果 2 当mE 时 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并 例 证明 对任意的1 n 例 设E为 0 1 中的有理数全体 试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集 例 设E 为 0 1 中的无理数全体 试各写出一个与E 只相差一小测度集的开集和闭集 开集 0 1 闭集 开集 闭集 空集 3 可测集与集和集的关系 可测集可由型集去掉一零集 或型集添上一零集得到 2 若E可测 则存在型集H 使 1 若E可测 则存在型集O 使 1 若E可测 则存在型集O 使 2 若E可测 则存在型集H 使 证明 若 1 已证明 由Ec可测可知 取H Oc 则H为型集 且 1 若E可测 则存在型集O 使 证明 对任意的1 n 例 例 设E 为 0 1 中的无理数全体 试各写出一个与E 只相差一零测度集的型集或型集 设E为 0 1 中的有理数全体 试各写出一个与E只相差一零测度集的型集或型集 注 上面的交与并不可交换次序 类似可证 证明 由外测度定义知 第四节不可测集 存在不可测集 利用选择公理构造 教材p73 1970 R Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理 存在不是Borel集的可测集 利用Cantor函数和不可测集构造 参见 实变函数 周民强 p87
