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1、1 第五章定积分 定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题 分析问题 解决问题的 definiteintegral 不定积分侧重于基本积分法的训练 而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分 思想方法 2 第五章定积分 基本要求 理解定积分的定义和性质 微积分基本定理 了解反常积分的概念 掌握用定积分表达一些几何量与物理量 如面积 体积 弧长 功 引力等 的方法 3 第一节定积分的概念与性质 定积分问题举例 定积分的定义 关于函数的可积性 定积分的几何意义和物理意义 小结思考题作业 定积分 定积分的性质 definiteintegral 4 1 曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际
2、问题 求由连续曲线 一 定积分问题举例 抽象出来的 现举两例 5 用矩形面积 梯形面积 五个小矩形 十个小矩形 思想 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积 6 采取下列四个步骤来求面积A 1 分割 2 取近似 长度为 为高的小矩形 面积近似代替 7 3 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积A的近似值 4 求极限 为了得到A的精确值 取极限 形的面积 分割无限加细 极限值就是曲边梯 8 2 求变速直线运动的路程 思想 以不变代变 设某物体作直线运动 已知速度 是时间间隔 的一个连续函数 求物体在这段时间内所经过的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上 速度
3、看作不变 求出各小段的路程再相加 便 得到路程的近似值 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值 9 1 分割 3 求和 4 取极限 路程的精确值 2 取近似 表示在时间区间 内走过的路程 某时刻的速度 10 二 定积分的定义 设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入 定义 若干个分点 把区间 a b 分成n个小区间 各小区间长度依次为 在各小区间上任取 一点 作乘积 并作和 记 如果不论对 1 2 3 4 11 被积函数 被积表达式 记为 积分和 怎样的分法 也不论在小区间 上点 怎样的取法 只要当 和S总趋于确定的 极限I 称这个极限I为函数f x 在区间 a b 上
4、的 定积分 积分下限 积分上限 积分变量 a b 积分区间 12 2 的结构和上 下限 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理 定积分是一个数 定积分数值只依赖于被积函数 有关 无关 而与积分变量的记号无关 13 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 1 几何意义 三 定积分的几何意义和物理意义 14 几何意义 各部分面积的代数和 取负号 它是介于x轴 函数f x 的图形及两条 直线x a x b之间的 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积 15 例 解 2 物理意义 t b所经过的路程s 作直线运动的物体从时刻t a到时刻 定积分 表示以变速 16 定理1 定理2 或 记为 黎曼德
5、国数学家 1826 1866 四 关于函数的可积性 可积 且只有有限个 可积 当函数 的定积分存在时 可积 黎曼可积 第一类间断点 充分条件 17 例1 下面举例按定义计算定积分 求函数 上的定积分 18 讨论定积分的近似计算问题 存在 n等分 用分点 分成n个长度相等的小区间 长度 取 有 每个小区间 对任一确定的自然数 19 取 如取 矩形法 公式 矩形法的几何意义 20 对定积分的补充规定 说明 五 定积分的性质 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 21 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 22 证 性质2 性质1和性质2称为 线性性质 23 补充
6、 例 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 假设 的相对位置如何 上式总成立 不论 24 证 性质4 性质5 如果在区间 则 25 解 令 于是 比较积分值 和 的大小 例2 26 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 27 思考 比较下列积分的大小 1 2 3 4 5 28 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性是显然的 由推论1 29 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 分别是函数 最大值及最小值 则 30 例3 试证 证 设 即 故 即 31 证 由闭区间上连续函数的介值定理 性质7 定积分中值定理 如果函数 在闭区间 连续 则
7、在积分区间 至少存在一点 使下式成立 积分中值公式 至少存在一点 使 即 32 定理用途 1 无论从几何上 还是从物理上 都容易理解 平均值公式 求连续变量的平均值要用到 如何去掉积分号来表示积分值 2 事实上 33 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积 34 例5 若函数 上连续 且 证明 35 例6 用定积分表示下列极限 解 36 3 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 4 典型问题 1 估计积分值 2 不计算定积分比较积分大小 六 小结 1 定积分的实质 特殊和式的极限 2 定积分的思想和方法 以直代曲 以匀代变 四步曲 分割 取近似 求和 取极限 思想 方法 37 思考与练习 1 用定积分表示下述极限 解 或 38 思考 如何用定积分表示下述极限 提示 极限为0 39 2 P235题3 3 P236题13 2 4 题13 4 解 设 则 即 40 作业 习题5 1 234页 4 3 4 10 3 12 1
