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1、空间元素的位置关系(2)-垂直【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质定理，并能运用这些知识解决与垂直有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。【教学过程】一.课前预习1（05天津）设为平面，为直线，则的一个充分条件是 ( )。(A) (B) (C) (D) 2（05浙江）设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么（ ）。(A) 是真命题，是假命题 (B) 是假命题，是真命题(C) 都是真命题 (D) 都是假命题3（05重庆）对于不重合的两个平面与，给
2、定下列条件：存在平面，使得、都垂直于； 存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有（ ）。A1个, B2个, C3个, D4个4如图，三棱锥S-ABC的底面是等腰直角三角形ABC，ACB=90，S在以AB为直径的半圆上移动，当半平面与底面垂直时，对于棱SC而言下列结论正确的是（ ）A有最大值，无最小值； B有最小值，无最大值； C无最大值，也无最小值； D是一个定值5正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x,则相邻两侧面所成二面角的余弦值f(x)与x之间的函数解析式是（ ）A. B C. D. 6设x
3、,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，那么下列条件中，能保证“xz,且yz,则xy”为真命题的是_（填上所有正确的代号）。(1)x为直线，y,z为平面；(2)x,y,z均为平面；(3)x,y为直线，z为平面；(4)x,y为平面，z为直线；(5)x,y,z均为直线。二.梳理知识 直线与平面的垂直是联系直线与直线垂直，平面与平面垂直的纽带，更是求有关角，距离的重要方法。重要判定定理(1) 一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直(线面垂直判定定理)(2) 平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理)(3) 三垂线定理及其逆定理三典型例
4、题选讲例1（05江西）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。例2（05浙江）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； () 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？例3.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。（1）求证：PB/
5、平面EAC； （2）求证：AE平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角APCD的正切值；（4）当为何值时，PBAC ？PEDCBA备用题例（05湖北）如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。四、巩固练习D11 C1A1 B11.如图正方体ABCDA1B1C1D1,在它的12条棱及12条面对角线所在直线中，选取若干条直线确定平面。在所有这些平面中：D CA B（1） 过B1C且与BD平行的平面有且只有一个；（2） 过
6、B1C且与BD垂直的平面有且只有一个；（3） BD与过B1C的平面所成的角等于30.上述命题中是真命题的个数为( )(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个2.如图，在正三棱锥PABC中，M、N分别是侧棱PB、PC 的中点，若截面AMN侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底 面所成角的正切值是 （ ）A B CD3.如图P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO平面ABCD。当四边形ABCD具有条件_时，点P到四边形四条边的距离相等。（注：填上你认为正确的一种条件即可。不必考虑所有可能的情况。）4.已知m、l是异面直线，那么：必存在平面过m且与l平行；必存在平面过m且与l
7、垂直；必存在平面与m、l都垂直；必存在平面与m、l距离都相等，其中正确的结论为（ ）A. B. C. D.5.如图在水平横梁上A、B两点处各挂长为50 cm的细绳AM、BN，在MN处栓长为60 cm的木条，MN平行于横梁，木条绕过MN中点O的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了（ ）A.10 cm B.5 cmC.10 cm D.5cm 图26（05湖南）如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小.7（05福建）如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F
8、为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（）求点D到平面ACE的距离.8（05辽宁）已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点,ABC，PEF都是正三角形，PFAB.（）证明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长。9（05全国I）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。10. 如图，M、N、P分别是正
9、方体AC1的棱AB、BC、DD1上的点，(1)若，求证：无证点P在D1D上如何移动总有BPMN；(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC，证明你的结论。参考答案一. 课前预习: 1D 2 D 3 B 4D 5 C 6三典型例题选讲例1、解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空
10、间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而， ，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意 （不合，舍去）， . AE=时，二面角D1ECD的大小为。例2解：方法一：() O、D分别为AC、PC中点， ()， 又， PA与平面PBC所成的角的大小等于， （）由()知，F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点，若点F是的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PB
11、C内的射影为直线BD，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心方法二： ，以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）设则，设，则()D为PC的中点，又， ()，即，可求得平面PBC的法向量，设PA与平面PBC所成的角为，则，（）的重心，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心。例3.（1）证明：连DB，设，则在矩形ABCD中，O为BD中点。连EO。因为E为DP中点，所以，。又因为平面EAC，平面EAC，所以，PB/平面EAC。（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，又，所以，AE平面PCD。（3）在PC上取点M使得。由于正
12、三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，连接，因为AE平面PCD，所以，。所以，为二面角APCD的平面角。在中，。即二面角APCD的正切值为。（4）设N为AD中点，连接PN，则。又面PAD底面ABCD，所以，PN底面ABCD。所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PBAC，需且只需NBAC在矩形ABCD中，设AD1，ABx则，解之得：。所以，当时，PBAC。证法二：（按解法一相应步骤给分）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，又因为侧面PAD底面ABCD，所以，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如
13、图建立空间直角坐标系。设，则，。（2），所以，。又，所以，AE平面PCD。（3）当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；设平面PAC的法向量为，则，即，取，可得：。所以，。向量与所成角的余弦值为：。所以，。又由图可知，二面角APCD的平面角为锐角，所以，二面角APCD的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。（4），令，得，所以，。所以，当时，PBAC。备用题解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0）， B（，0，0）， C（，1，0）， D（0，1，0）， P（0，0，2）， E（0，2），从而=（，1，0），=（，0，-2），设与的夹角为，则 ，AC与PB所成角的余弦值为（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则， 由NE面PAC可得：即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
