二元一次方程组的图象解法（课例）

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1、二元一次方程组的图象解法（课例）素质教育提出以学生为主体，教师为主导，教材为主线，在教学中要真正表达学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习。相比较传统教学，创设问题情境，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，是主体参与的条件和关键。变式教学，是实现减负增效、培优提差的有效教学手段。【教学目标】知识目标：使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系。能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。能力目标：通过学生的思考和操作,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养学生初步的数

2、形结合的意识和能力。情感目标：通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发学生学习数学的兴趣。重点要求：1、二元一次方程和一次函数的关系。2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。难点突破：经历观察、思考、操作、探究、交流等数学活动，培养学生抽象思维能力，并体会方程和函数之间的对应关系，即数形结合思想。【教学过程】【一】学前先思师：请同学们思考，我们已经学过的二元一次方程组的解法有哪些?生：代入消元法、加减消元法。师：请你猜测还有其他的解法吗?生：(小声议论，有人提出图象解法)师：看来的同学似乎已经提前做了预习工作，很好!那么对于课题

3、二元一次方程组的图象解法，你想提什么问题?生：二元一次方程组怎么会有图象?它的图象应该怎样画?生：二元一次方程组的图象解法怎么做?师：同学们都问得很好!那你有喜欢的二元一次方程组吗?生：(比较害羞)师：看来大家比较害羞，那么请大家把各自喜欢的二元一次方程组留在心里。让我们带着同学们提出的问题从二元一次方程开始今天的学习。【二】探究导学题目：判断上面几组解中哪些是二元一次方程 的解?生： 和 不是，其余各组均是方程 的解。师：请在学案上的直角坐标系中先画出一次函数 的图象，再标出以上述的方程的解中 为横坐标， 为纵坐标的点，思考：二元一次方程 的解与一次函数 图象上的点有什么关系?生：我发现二元

4、一次方程的解就是相对应的一次函数图象上的点的坐标。师：很好!反过来，请问：一次函数图象上的点的坐标是否是与其相对应的二元一次方程的解呢?生：是的。并且二元一次方程的解中的 、 的值就是相对应的一次函数图象上点的横、纵坐标的值。【三】巩固基础师：非常好!那下面的题目你会解吗?(学生读题)题目：方程 有一个解是 ，那么一次函数 的图象上必有一个点的坐标为_.生：(2，1)(学生读题)题目：一次函数 的图象上有一个点的坐标为(3，2)，那么方程 必有一个解是_.生：师：你能把下面的二元一次方程转化成相应的一次函数吗?(学生读题)把以下二元一次方程转化成 的形式：(1) (2)生：第(1)题利用移项，

5、得到 ，所以第(2)题利用移项，得到 ，两边同时除以2，所以【四】感悟提升师：如果将 和 组成二元一次方程组，你能用代入消元法或者加减消元法求出它的解吗?生：能，我算出师：很好!你能在同一直角坐标系中画出一次函数 与 的图象吗?生：可以。(动手在学案上画图)师：观察两条直线的位置关系，你有什么发现?生：我发现这两条直线相交，并且交点坐标是(2，1)。师：通过以上活动，你能得到什么结论?生：我发现刚刚求出的二元一次方程 的解 刚好就是一次函数 与 的图象的交点坐标(2，1)。师：很好!你能抽象成一般的结论吗?生：如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。师：非

6、常好!用一次函数的图象解二元一次方程组的方法就是我们今天要学习的二元一次方程组的图象解法。师：你能学以致用吗?y=2x-5y=-x+1题目：如图，方程组 的解是_.生：根据图象可知：一次函数 与 的图象的交点是(2，-1)，因此，方程组 的解是 。师：回答得真棒!【五】例题教学例题：利用一次函数的图象解二元一次方程组 。师：请大家在学案的做中感悟栏内上大胆地写出解题过程。生：(投影展示解题过程)略。师：很好!让我们一起来看一下老师准备的解题过程(略)师：你能就此归纳出二元一次方程组的图象解法的一般步骤吗?生：先将二元一次方程组中的方程化成相应的一次函数，然后画出一次函数的图象，找出它们的交点坐

7、标，就可以得出二元一次方程组的解。师：非常好!我们可以用12个字的口诀来记住刚才同学的步骤：变函数，画图象，找交点，写结论。师：接下来请同学们在学案上的巩固强化栏内利用图象解法求出你心里埋你所喜欢的二元一次方程组的解。生：(各自动手操作，教师展示学生求解过程)师：观察你作的图象，你有什么发现吗?生：我发现有些一次函数图象的交点比较容易看出来，而有些一次函数图象的交点不容易看出来是多少。师：是的，所以在这里老师需要说明的是我们用图象法求解一元二次方程组的解得到的是近似解。师：请大家比较一下，二元一次方程组的图象解法和我们以前学过的代数解法代入消元法、加减消元法相比，那种方法简单一些?生：代入消元

8、法、加减消元法简单。师：二元一次方程组的图象解法既不比代数解法简单，且得到的解又是近似的，为什么我们还要学习这种解法呢?原因有以下几个方面：一是要让我们学会从多种角度思考问题，用多种方法解决问题;二是说明了数与形存在着这样或那样的密切联系，有时我们要从数的角度去考虑形的问题，有时我们又要从形的角度去考虑数的问题，这里是从形的角度来考虑数的问题;三是为了以后进一步学习的需要。师：看来大家都很爱动脑筋，那么接下来我们将例题加以变化。六、例题变式题目：用图象法求解二元一次方程组 时，两条直线相交于点(2，-4)，求一次函数 的关系式。师：请一位同学来分析一下。生：由两条直线的交点坐标(2，-4)可知

9、，二元一次方程组 的解就是 ，把 代入到二元一次方程组 中，可得： ，解得 ，所以一次函数的关系式为 。师：非常好!七、感悟归纳师：再请同学们思考，如果二元一次方程组转化成的一次函数的图象没有交点，那么所对应的二元一次方程组的解是什么呢?生：我想如果二元一次方程组转化成的一次函数的图象没有交点，那么所对应的二元一次方程组应该无解。八、拓宽提升题目：不画函数的图象，判断以下两条直线是否有交点?它们的位置关系如何?每组一次函数中的 有什么关系?(1) 与 ;(2) 与师：你会怎样分析这道题?生：我们只要求解一下由这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解的情况就可以判断两条直线的位置关系。如果方程组

10、有解，那么相应的两条直线就是相交，如果方程组无解，那么相应的两条直线就是平行的位置关系。师：很好!抽象成一般结论怎样表达?生：对于直线 与 ，当 时，两直线平行;当 时，两直线相交。九、例题再探题目：利用一次函数的图象解二元一次方程组问：(1)这两条直线有什么特殊的位置关系?(2)这两个一次函数的 有何特殊的关系?(3)由此，你能得出怎样的结论?师：哪位同学来尝试一下?生：(1)这两条直线是垂直的位置关系;(2)这两个一次函数的 相乘的结果等于-1;(3)仿照刚才的结论，我得出的结论是：对于直线 与 ，当 时，两直线垂直。师：太棒了!那下面的这一题你会做吗?题目：直线 和直线(1) 假设 ，求

11、 的值;(2) 假设 ，求垂足的坐标。师：谁来试一下?生：由前面的结论我们可以得出，如果 ，那么 ，解得： ;如果 ，那么 ，解得 ，将 代入二元一次方程组 ，可得 ，求出方程组的解就可以得出垂足的坐标。十、学会创新师：请你根据这节课中的例题(或习题)在学案中编(或出)一道题。看谁出的题新颖、精妙!生：(畅所欲言，踊跃尝试)十【一】小结与思考师：(1)这节课你学到了什么?(2)你还存在哪些疑问?生：(分组讨论，代表发言总结)【设计说明】本节课的两个知识点：二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组的图象解法对于学生来说都是难点。就本节课而言，前者较为重要，后者难度较大。确定本节课的重点为前者

12、，是因为学生必须首先理解二元一次方程和一次函数在数与形两方面的联系，在此基础上才能解决好后面的难点。在重难点的处理上，为了解决学生对重点的理解，用一组二元一次方程组串起一节课，加以变式，既使得学生理解了重点内容，又为后面的难点突破留下了一定的时间和空间。本节课的教学，主要以问题为线索，注重引导学生仔细观察、独立思考、认真操作、分组讨论、合作交流、师生互动，这对本节课的重难点的突破还是有效的，同时也表达了新课改提倡的学生的自主、合作、探究的学习方式的培养。另外，对利用二元一次方程组的解判断直线的位置关系作为补充，渗透数形结合思想，也对教学目标中的情感态度和价值观的又一方面表达。【教学反思】这节课

13、以回顾、先思为先导，以操作、思考为手段，以数、形结合为要求，以引导探究，变式拓宽为主线，从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的情况，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备，结构安排自然、紧凑。在操作中，提出问题、深化认识。一切知识来自于实践。只有实践，才能发现问题、提出问题;只有实践，才能把握知识、深化认识。先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会;使他们在自主探索、合作交

14、流中找到了快乐，深化了认识。以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。能力培养是以自主探究为平台。自主不是一盘散沙，探究不是漫无边际。要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。为达到这一目的，教案中设计了探究导学、例题变式、例题再探、学会创新和拓展提升。新课程理念指出：教师是课程的研究者和开发者。这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图。在此基础上，设计出既表达课程精神，又适合本班学生实际的教学案例。本节课前半部分时间有些慢，后半部分例题再探和学会创新时间不够。建议有针对性的学生板演多一点，进一步加强双

15、基的落实。【同伴点评】本节课教师创设问题情境，引导学生观察、思考、操作、探究、合作交流。问题的设计层层递进，通过问题的逐一解决，师生最终形成共识，达到了揭示二元一次方程组与一次函数的图象关系的目的。(李晓红)在例题教学及学生动手尝试时，教师在学生大胆尝试之后给出解题过程，强调了解题的规范性，有利于培养学生的严谨认真的学习态度。同时强调了由于二元一次方程组的图象解法得到的解往往是近似的，因此必须检验。教师对学习二元一次方程组的图象解法的必要性的解释，是非常有必要的，这一解释解决了学生的疑惑，同时也渗透了数形结合思想，也是教学目标中的情感态度和价值观的表达。对于这一解释，相当一部分教师在这一节课中并没有很好解决。这一处理方法值得他人借鉴。(丁叶谦)其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,死记之后会活用。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多