《高中数学人教B版选修1-1学案：1.3.1 推出与充分条件、必要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教B版选修1-1学案：1.3.1 推出与充分条件、必要条件（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式13.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系知识链接判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系：(1)如果xa2b2，则x2ab；(2)如果|x|1，则x1.答(1)为真命题，(2)为假命题命题(1)中，有xa2b2，必有x2ab，即xa2b2x2ab；但由x2ab推不出xa2b2.命题(2)中，由|x|1，可得x1或1.即由|x|1推不出x1；但由x1能推出|x|1.结论：一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q
2、，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件预习导引1命题的结构在数学中，我们经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论2充分条件与必要条件的定义当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可以推出q成立，记作pq，读作“p推出q”如果p可推出q，则称p是q的充分条件；q是p的必要条件3pq的等价命题在逻辑推理中，能表达成以下5种说法：“如果p，则q”为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件；q的充分条件是p；p的必要条件是q.4充要条件的定义一般地，如果pq，且qp，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，
3、记作pq.p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价.要点一充分条件、必要条件、充要条件的判断例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)：(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)在ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(3)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充要条件(2)取A120，B30，p/ q，又取A30，B120，q/p，所以p是q的既不充分也不必要条件(3)因为p：A(1,2)
4、，q：B(x，y)|x1或y2，AB，所以p是q的充分不必要条件规律方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断pq及qp两命题的正确性，若pq真，则p是q的充分条件，若qp真，则p是q的必要条件(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断pq真假时，也可从集合角度入手判断真假，结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的跟踪演练1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)?(1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形；(2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形；(3)若a，bR，p：a2b20，
5、q：ab0.解(1)在ABC中，b2a2c2，cosB0，B为钝角，即ABC为钝角三角形，反之若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b20，所以x1，x2同号又x1x2m20，所以x1，x2同为负数即m2是x2mx10有两个负实根的充分条件(2)必要性：因为x2mx10有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x21，所以即所以m2，即m2是x2mx10有两个负实根的必要条件综上可知，m2是x2mx10有两个负实根的充要条件规律方法充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成
6、立跟踪演练2求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k2.充分性：当k2时，(2k1)24k214k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.要点三充分条件和必要条件的应用例3已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若
7、p是q的充分不必要条件求实数a的取值范围解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa，由已知pq，且qp，得MN.所以或a2或a2a2.即所求a的取值范围是，2规律方法在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑注意推出的方向及推出与子集的关系跟踪演练3是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由解由x2x20，解得x2或x2，或x1，由4xp0，得Bx|x，当BA时，即1，即p4，此时x0，当p4时，4xp0的充分条件1“2x
8、1或x1”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C既不是充分条件，也不是必要条件D既是充分条件，也是必要条件答案C解析2x1或x1或x12x1，“2x1或x1”的既不充分条件，也不必要条件2“0”是“sin0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由于“0”时，一定有“sin0”成立，反之不成立，所以“0”是“sin0”的充分不必要条件3对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当ab0时，得ab，所以ab，但若ab，不一定有ab0.4函数f(x)x2mx1的
9、图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1答案A解析当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.1.充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)利用集合间的包含关系进行判断2充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法3充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件.
