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1、几个抽象函数问题的探究解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高.所以近几年来高考题中不断出现，在2018年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花.但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心.下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法.【一】抽象函数的定义域例1函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域.【解析】：由由a>0 知只有当0点评：1。f(x)的定义域为a,b，那么fg(x)的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;2。fg(x)的定义域为a,b，那么f(x)的
2、定义域即是g(x)在x a,b上的值域。【二】抽象函数的值域解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法那么决定.例2假设函数y=f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域.【解析】：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法那么与函数y=f(x+1)的定义域与对应法那么 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1.【三】抽象函数的奇偶性例3假设y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2019)=?【解析】：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1)为什么?;因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1)为什么?;因为f
3、(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2019)【四】抽象函数的对称性例4函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,那么g(x)+ g(-x)的值为( )A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定【解析】：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=f (x)-1/2， y=f(2x+1) 是奇函数，∴y=f (x)-1/2也是奇函数，∴f (x)-1/2+f (-x)-1/2=0 &there4
4、;f (x)+f (-x)=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)应选A .【五】抽象函数的周期性例5、(2018全国卷理)函数的定义域为R，假设f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，那么( )(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数解: f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数。，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数.应选D关于抽象函数的周期
5、性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了.定理1。假设函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)=f (x-b)，那么y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数.定理2。假设函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x+a)= -f (x-b)，那么y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数.定理3。假设函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b (a≠b)对称，那么y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数.et 定理4。假设函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，那么y=f (x
6、) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数.定理5。假设函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，那么y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数.性质1：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),那么函数f(x)有周期2(a-b);性质2：假设函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),那么函数有周期2(a-b)。特别：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数，那么
7、函数f(x)有周期2a。性质3：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 那么函数有周期4(a-b)。特别：假设函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数，那么函数f(x)有周期4a.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:中小学语文教学效
8、果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道是这样,就是讲不出为什么。根本原因还是无米下锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋
9、篇等写作技方面下功夫,必须认识到死记硬背的重要性,让学生积累足够的米。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初
10、中水平以上的学生都知道议论文的三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道是这样,就是讲不出为什么。根本原因还是无米下锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到死记硬背的重要性,让学生积累足够的米。这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多那么材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高.但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，那么会得心应手。
