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1、力学问题的光学解法 高兴玉 (新疆乌鲁木齐市八一中学 新疆 乌鲁木齐 830001)例1：如图1中，是东西走向的马车道，它的北面是一片沙砾地带，人在上面步行速度为km/h，而车道上马车速度为km/h，已知km，km，则人要从地到地所需要的最短时间是多少？解：本题是运动求极值问题，但用类比法，把看成两种介质的分界面，沿方向运动就是入射角为，当按光的折射定律运动时，所用时间最短（逆向可看作恰好发生全反射）.如右图，设为所求的路径，则，式中km/h，km/h分别为马车和人步行的速度.由上式可得：，因此，km.km，km 图1所从 km ，即从地达地所需最短时间是3.2小时. 例2：如图2所示，在水平
2、面上，有两个竖直光滑墙壁和，间距为，一个小球以初速度从两墙之间的点斜向上抛出与和各发生一次碰撞后正好落回抛出点，求小球的抛射角解：直接求解相当复杂，如果视墙为一平面镜，将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解当物体跟墙碰撞前后的运动相当于从点开始的斜上抛运动，与墙碰后落于点相当于落到点，其中、关于墙对称，、对于墙对称，如图3，于是有落地时 代入可解得 图2 图3例3：如图4中，是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面(图中的纸面)上，夹角o，现将一质点在面内从处以速度m/s射出，其方向与间的夹角o，m，设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与面及面的碰撞都是
3、弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略，试求：(1)经过几次碰撞，质点又回到处与相碰？(计算次数时包括在处的碰撞) (2)共用多少时间？(3)在这过程中，质点到点的最短距离是多少？解：由于此质点弹性碰撞时的运动轨迹所满足的规律和光的反射定律相同，故可通过几何光学规律进行求解(1)第一次，第二次碰撞如图5，则故第二次碰撞的入射角为 图4 因此每碰一次，入射角要减少o，即入射角为o、o、o，当入射角为o时，质点碰撞后沿原路返回包括最后在处的碰撞在内，往返总共次碰撞(2)由镜像原理，将折线变为图6中的直线，故质点运动的总路程为一锐角为o的直角三角形的较小直角边的两倍即 om，所用总时间： s(3)碰撞
4、过程中离的最短距离为另一直角边长，且om 图5 图6例4 一些很小的球从竖直对称轴附近，、高度处，无初速度自由落下碰到半径为的凹形球面上，小球与球面的碰撞是完全弹性的，试证明在第次碰撞后，每个小球都落在球面的最低点(小球间不发生碰撞)分析：小球碰撞后作抛体运动，较为复杂若此时开始取自由落体参照系，则每个小球都做匀速运动而小球都是从竖直对称轴附近下落的，故可作光学类比，相当于近轴平行光线经凹面镜反射后，都交于焦点即球面的最底点的竖直正方处只要证明经过相同的时间凹面镜在自由落体参照系中也竖直向上运动了即可得证解 小球与凹球面碰撞后，取自由落体参照系，小球作匀速直线运动，速度为由于小球都是从竖直对称轴附近下落，反弹后在自由落体参考系中运动的轨迹类似平行光线被凹面镜反射，相交于一点，在凹球面最低点的正上方处由于小球的碰撞点在最低点附近，可认为相遇时位移也为，则运动时间为 该时间内凹球面在参考系中向上运动为 即球面最低点和所有小球相遇在点，得证资
