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1、第4讲 导数的分类讨论1. 理解函数的导数与函数单调性之间的联系。2. 利用导数研究函数的单调性。3. 重点掌握含参数的函数单调性的确定。1.函数的导数与函数单调性之间的联系是基础。2.利用导数研究函数单调性是重点。3.对于含参数的函数单调性的讨论是难点。一次类型导数的讨论1、利用导数研究函数（含参）的单调性的步骤：（1）求定义域（2）求导（3）令f(x)0，解不等式得增区间；令f(x)0解不等式求得减区间，注意函数如果有几个单调增（减）区间，中间只能用“，”不能用“”连接。2、形如的类型：令，解的，讨论与定义域边界值的关系。3、形如的类型：分三种情况进行讨论：（1），讨论与定义域边界值的关系
2、；（2），令，解的，讨论与定义域边界值的关系；（3），令，解的，讨论与定义域边界值的关系。例1.已知函数，讨论的单调性。【答案】当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【解析】因为，所以定义域为，又因为，令，解的，当时，的解集为，所以的单调递增区间为，的解集为，所以无单调递减区间；当时，的解集为，所以的单调递增区间为，的解集为，所以的单调递减区间为。综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为。练习1.已知函数，讨论的单调性。【答案】当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为。【解析】因为，所以定义域为，又因为，令，解的，
3、当时，的解集为，所以的单调递增区间为，的解集为，所以无单调递减区间；当时，的解集为，所以的单调递增区间为，的解集为，所以的单调递减区间为。综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为。分类讨论导数零点与定义域边界值的大小关系。例2.已知函数，讨论的单调性。【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递减区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为。综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。练习1.已知函数，讨论
4、的单调性。【答案】当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，在上恒成立，所以的单调递增区间为，当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为。综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。练习2.已知函数，讨论的单调性。【答案】当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。【解析】因为，所以定义域为，又因为，所以当时，所以的单调递减区间为；当时，令，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；当时，令
5、，解的，所以的解集为，的单调递增区间为，的解集为，单调递减区间为；综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。注意类型题中的情况。二次类型导数的讨论1、形如“”的类型，分三种情况进行讨论：（1）；（2），在定义域内讨论两根的大小关系；（3），在定义域内讨论两根的大小关系。2、形如“”的类型，函数不能因式分解，分三种情况进行讨论：（1）时转一次类型；时，分两种情况进行讨论；时，分两种情况进行讨论。例1.已知函数的单调区间。【答案】当时，函数在区间上递增，在区间上递减；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增；
6、当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增，在区间上递减。【解析】由已知得函数的定义域为，.（1）当时，.当时，；当时，.所以在区间上增函数，在区间为减函数。（2）当时，令，得（讨论的核心在于导数的零点与0，1的相对大小关系）。 当，即时，当变化时，的变化情况如下： 极大值极小值所以函数在区间，上递增，在区间上递减。 当，即时，所以函数在区间上递增。 当，即时，当变化时，的变化情况如下： 极大值极小值所以函数在区间，上递增，在区间上递减。当，即，i若则当变化时，的变化情况如下： 极小值所以函数在区间上递增，在区间上递减。ii当若时，则当变化时，的变化情况如下： 极大值所以函
7、数在区间上递增，在区间上递减。综上可得：当时，函数在区间上递增，在区间上递减；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增，在区间上递减。练习1.已知函数，讨论函数单调性。【答案】当时，函数在区间上递增，在区间上递减；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减。【解析】由已知得函数的定义域为，令得，（讨论的核心在于导数的零点与0，1的相对大小关系）。当时，当变化时，的变化情况如下： 极大值极小值所以函数在区间，上递增，在区间上递减。当时，所以函数在区间上
8、递增当时，当变化时，的变化情况如下： 极大值极小值所以函数在区间，上递增，在区间上递减。当时，当变化时，的变化情况如下： 极小值所以函数在区间上递增，在区间上递减。综上可得：当时，函数在区间上递增，在区间上递减；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减；当时，函数在区间上递增；当时，函数在区间，上递增，在区间上递减。练习2. 已知函数，讨论的单调性。【答案】当时，则在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减.【解析】由已知得函数的定义域为，当时，则在单调递增，当时， 令得，当变化时，的变化情况如下：极小值所以函数在区间上递增，在区间上递减。综上可得：当时，则在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减
9、.已知含参数的二次函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，如果函数能够因式分解，则分类讨论的4个标准：二次项系数的正负零根的个数根的大小的根与给定区间的位置关系。例2. 设函数，讨论函数的单调性.【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.【解析】函数的定义域为， ，当时，函数在上单调递增，当时，令，由于，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，当时，设是函数的两个零点，则，由，所以时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，函数单调递减，综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增。练习
10、1. 设函数，其中，讨论的单调区间。【答案】当时，的单调增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，。【解析】由，可得，下面分两种情况讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为；当时，令，解得或.当变化时，、的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；综上可得：当时，的单调增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，。已知含参数的二次函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，如果函数不能因式分解，则分类讨论的4个标准：二次项系数的正负零确定根的个数根的大小的根与给定区间的位置关系。类一、二次型导数的讨论1、类一次型导数的讨论，
11、形如的类型：讨论的取值范围，确定有无根及有根情况下根与定义域边界值的关系； 2、类二次导数的讨论，形如“”的类型，分三种情况进行讨论：（1）；在定义域内讨论两根的大小关系；（3）定义域内讨论两根的大小关系；形如“”的类型，函数不能因式分解，分三种情况进行讨论：时转一次类型；时，分两种情况进行讨论；时，分两种情况进行讨论。例1.已知函数 ，讨论函数的单调性。【答案】函数的单调递减区间为，单调递增区间为。【解析】，当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，则当变化时，、的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 练习1. 已知函数，讨论函数的
12、单调性。【答案】函数的单调递减区间为，单调递增区间为。【解析】由题意可知函数定义域为，令得，则当变化时，、的变化情况如下表：0单调递增极小值单调递减所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为。对于类一次型函数的讨论借鉴一次型导数的讨论。例2.已知函数，讨论函数的单调性。【答案】，函数在R上为增函数；当，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。【解析】由题意可知的定义域为R，故，导函数的符号由来确定。当时，即，在R上恒成立，故函数在R上为增函数；当时，即，令，解得，则当变化时，、的变化情况如下表：00单调递增极小值单调递减极大值单调递增所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。综上可得：，函数在R
13、上为增函数；当，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。练习1.已知函数，讨论的单调性。【答案】当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增当， 在单调递减，在单调递增。【解析】函数的定义域为，若，则，在单调递增； 若，则由得当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增； 若，则由得，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增。综上可得：当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增当， 在单调递减，在单调递增。练习2. 已知函数，讨论函数的单调性。【答案】当时，在均为增函数；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。【解析】由题意可知函数的定义域为，设，由，得。当时，在均为增函数；当时，在恒成立，所以函数在均为增函数；当时，令，解得。则当变化时，、的变化情况如下表：00单调递增极小值单调递减极大值单调递增单调递增所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。综上可得：当时，在均为增函数；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为类二次函数是在二次型函数基础上的进一步提升，解法等同于二次型导数的讨论。已知含参数的二次函数，确定单调性，需要对参数范围进行分类讨论，固定解题套路为：求定义域求导作的示意图，根据开口、判别式、斜率，根与根的大小关系及根与区间端点的关系确定函数的单调性。
