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1、演练方阵第3讲 坐标系极坐标系类型一:极坐标考点说明：极坐标系、极坐标的概念及应用【易】1下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】与极坐标相同的点可以表示为(kZ)，只有不适合【中】2已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，则顶点C的极坐标为()A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意可知ABC如图所示，显然OCAB，|OC|2，COx，所以C.【中】3若120，12，则点M1(1，1)与点M2(2，2)的位置关系是()A关于极轴所在直线对称B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的
2、直线对称D两点重合【答案】A【解析】因为点(，)关于极轴所在直线对称的点为(，)由此可知点(1，1)和(2，2)满足120，12，是关于极轴所在直线对称【中】4极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是_；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是_；(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是_(本题中规定0，0,2)【答案】(1)(2)(3)【解析】点A关于极轴的对称点的极坐标为；点A关于极点的对称点的极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为.【难】5已知极坐标系中，极点为O,02，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_【答案】或
3、【解析】如图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P、Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ，显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.【难】6直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于_【答案】【解析】如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，AOB，所以OAB，所以ACO.类型二:极坐标与直角坐标的互化考点说明：点的极坐标与直角坐标的互化【易】1将点的极坐标(，2)化为直角坐标为()A(，0) B(，2) C(，0) D(2，0)【答案】A【解析】xcos(2)，ysin(2)0，所以
4、点的极坐标(，2)化为直角坐标为(，0)【易】2点P的直角坐标为(1，)，则它的极坐标是()A. B. C. D.【答案】C【解析】2，tan ，因为点P(1，)在第四象限，故取，所以点P的极坐标为.【易】3设点P对应的复数为33i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A. B. C. D.【答案】A【解析】点P的直角坐标是(3，3)，极坐标是.【易】4在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是() A. B. C. D.【答案】A【解析】极径2，极角满足tan ，点(1，)在第四象限，.
5、【易】5已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当0，0,2)时，点P的极坐标为_【答案】【解析】点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，x2，且y2，2，又tan 1，且0,2)，.因此点P的极坐标为.【中】6将下列各点的直角坐标化为极坐标(0，02)(1)(，3)；(2)(1，1)；(3)(3，0)【答案】见解析【解析】(1)2，tan .又因为点在第一象限，所以.所以点(，3)的极坐标为.(2)，tan 1.又因为点在第三象限，所以.所以点(1，1)的极坐标为.(3)3，可知极角为，所以点(3，0)的极坐标为(3，)【中】7(1)已知点的极坐标分别为A，B
6、，C，D，求它们的直角坐标(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(2，2)，求它们的极坐标(0,02)【答案】见解析【解析】(1)根据xcos ，ysin ，得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根据2x2y2，tan 得A，B，C.【难】8已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ()A.，(1，)B.，(1，)C.，(1，)D.，(1，)【答案】D【解析】点P关于极点的对称点为，即，且x2cos2cos1，y2sin2sin.类型三:极坐标与直角坐标的综合应用考点说明：坐标变换、用坐标系解决实际问题、解析几何常见问题在极坐标系中的应用【易】1在极坐标系
7、中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于()A9B10 C14D2【答案】B【解析】P1OP2，P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|10.【中】2已知A，B两点的极坐标为，则线段AB中点的直角坐标为_【答案】【解析】因为A，B两点的极坐标为，所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(4，4)，所以线段AB中点的直角坐标是.【中】3平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于_【答案】3【解析】点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于63.【中】4在极坐标系中，O为极点，若A，B，则AOB
8、的面积等于_【答案】3【解析】点B的极坐标可表示为，则AOB，故SOAB|OA|OB|sinAOB34sin 3.【中】5在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，)，C.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积【答案】见解析【解析】(1)如图所示，由A，B(2，)，C，得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC，AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC为等边三角形(2)由上述可知，AC2OAsin222.SABC(2)23.【难】6某大学校园的部分平面示意图如图：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|A
9、B|BC|，|OC|600 m建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定0,02且极点为(0,0)【答案】见解析【解析】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC|600 m，AOC，OAC，得|AC|300 m，|OA|300 m，又|AB|BC|，所以|AB|150 m.同理，得|OE|2|OG|300 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，)，G.【难】7舰A在舰B的正东方向6 km处，舰C在舰B的北偏西30方向4 km处，它们围捕海洋动物某时刻舰A发现动物的信号，4秒后舰B，舰C同时发现这种信号
10、设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求动物所处位置的极坐标【答案】见解析【解析】对舰B而言，A，C两舰位置如图所示，取A，B所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A，B，C三舰的坐标分别为(3，0)，(3，0)， (5，2)由于B，C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则|PB|PC|.于是点P在BC的中垂线l上，易求得其方程为x3y70.由A，B两舰发现动物信号的时间差为4秒知|PB|PA|4，于是知P应在双曲线1的右支上直线l与双曲线的交点P(8，5)即为动物的位置根据两点的斜率公式得直线PA的倾斜角为60，于是舰A发
11、射炮弹的方位角应是北偏东30.由两点间的距离公式得|PA|10.所以以舰A所在地为极点，动物所处位置的极坐标为.简单曲线的极坐标方程类型一:极坐标方程与直角坐标方程的互化考点说明：简单曲线方程的互化【易】1求过(2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程【答案】2cos sin 70【解析】由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即：2xy70.设M(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入直角坐标方程2xy70得：2cos sin 70，这就是所求的极坐标方程【中】2直线xy0的极坐标方程为_【答案】或【解析】直线方程xy0变为极坐标方程为cos sin 0，即cos sin 0
12、，故tan ，故或，所以直线xy0的极坐标方程为或.【中】3已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_【答案】【解析】将直线l的极坐标方程2sin化为直角坐标方程为xy10.由A得A点的直角坐标为(2，2)，从而点A到直线l的距离d.【难】4若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcossin ，0【答案】A【解析】因为所以y1x化为极坐标方程为cos sin 1，即.因为0x1，0y1，所以线段在第一象限内(含端点)，所以0.【难】5在极坐标系中，曲线4sin关于()A直线对称 B直线对称 C点对称 D极点对称【答案】B【解析】由方程4sin，得22sin 2cos ，即x2y22y2x，配方，得(x)2(y1)24.它表示圆心在(，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线成轴对称【难】6在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_【答案】x2y22y0【解析】因为 2sin ，所以 22sin，所以 x2y22y，即x2y22y0.【难】7在极坐标系(，)(02)中，曲线2s
