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1、高三数学 2017 秋 第 1页 第 1 讲函数的性质与函数图像 本讲模块高考考点 高考要求 了解理解掌握 函数的单调性与 奇偶性 函数单调性与奇偶性的判断和证明C 函数单调性与奇偶性的性质B 复合函数的单调性A 抽象函数的单调性与奇偶性A 函数性质综合 奇偶性与图像的对称性B 周期性与图像的对称性A 单调性 奇偶性 周期性的综合应用C 基本初等函数及 其图像 指数与指数幂的运算B 对数与对数运算B 指数函数及其性质C 对数函数及其性质C 幂函数及其性质B 初等函数的综合应用C 1 函数单调性 奇偶性 周期性的概念与应用是重点也是难点 2 有理指数幂和对数的运算是重点 3 指 对 幂函数的定义
2、 性质与图像是重点 4 掌握常见函数的图像 能够利用函数的定义域和值域确定函数图像的范围 可以作出函数 的草图 能反映出函数的单调性和对称性 并能够利用函数图像研究函数的性质是难点 高三数学 2017 秋 第 2页 高三数学 2017 秋 第 3页 函数的单调性与奇偶性 一 函数的单调性 1 定义及转换法判断函数的单调 一般地 设 f x是定义在D上的函数 若对任意 1 x 2 xD 当 12 xx 时 总有 12 f xf x 时 则称 f x是D上的严格增函数 若对任意 1 x 2 xD 当 12 xx 时 总有 12 f xf x 时 则称 f x是D上的严格减函数 定义法判断函数单调性
3、的其它形式 1 设 f x是定义在D上的函数 若对任意 12 xxD 总有 12 12 0 f xf x xx 则称 f x是D上的严格增函数 若对任意 1 x 2 xD 总有 12 12 0 f xf x xx 则称 f x是 D上的严格减函数 2 f x是定义在D上的函数 若对任意 12 xxD 总有 1212 0 xxf xf x 则称 f x是D上的严格增函数 若对任意 1 x 2 xD 总有 1212 0 xxf xf x 则称 f x是D上的严格减函数 2 图像法判断函数的单调性 用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法 根据单调函数的图像特征 若函数 f x的图像在区间 I 上从
4、左往右逐渐上升 则函数 f x在区间 I 上是增函数 若函数 f x 图像在区间 I 上从左往右逐渐下降 则函数 f x在区间 I 上是减函数 1 对勾函数的单调性判断 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数 形如 0 0 b f xaxab x 的函数 对勾函数的图像是分别以y ax 和 b y x 为渐近线的两支曲线 令 b ax x 解得 高三数学 2017 秋 第 4页 b x a 那么当 b x a 和 b x a 时 f x为增函数 当 0 b x a 和0 b x a 时 f x为减函数 2 对勾函数单调性引申 形如 b f xa xc xd 的函数可变形为 b f xa
5、xdacad xd 令xdt acadM 则原函数变为 b f xatM t 令 b at t 解得 b t a 即 b xd a 1 b xd a 2 b xd a 21 xx 那么当 1 xx 2 xx 时 f x为增函数 当 1 0 xx 和 2 0 xx 时 f x为 减函数 3 抽象函数单调性的判别方法 如果一个函数没有给出具体解析式 那么这样的的函数叫做抽象函数 抽象函数没有具体的 解析式 需充分提取题目条件给出的信息 凑差法 根据单调函数的定义 设法从题目中 凑出 12 f xf x 的形式 然后 比较 12 f xf x 与 0 的大小关系 添项法 弄清题目中的结构特点 采用加
6、减添项或乘除添项 以达到能判断 12 f xf x 与 0 大小关系的目的 增量法 由单调性的定义出发 任取 12 xxR 12 xx 设 22 0 xx 然后联系题目提取的信息给出解答 放缩法 利用放缩法 判断 1 f x与 2 f x的大小关系 从而得 f x在其定义域内 的单调性 二 函数奇偶性与周期性 1 函数奇偶性的性质 1 函数具有奇偶性的必要条件是 定义域关于原点对称 高三数学 2017 秋 第 5页 2 f x是偶函数 f x的图像关于 y 轴对称 f x是奇函数 f x的图像关于原 点对称 3 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性
7、 4 若奇函数的定义域包含 0 则必有 0 0f 换句话说定义在 R 上的奇函数必有 0 0f 2 判断函数奇偶性的方法 1 定义法 略 及定义等价法 0f xfx 1 f x fx 2 图像法 略 3 性质法 设 f x g x的定义域分别是 1 D和 2 D 那么在他们的公共定义域上 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 3 函数周期性 1 一般地 对于函数 f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内每一个值时 都有 f xTf x 那么函数 f x就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函数的周期 2 对于非零常数 T 若函数 f x满足 f xTf x
8、 则函数必有一个周期为 2T 3 对于非零常数 T 若函数 f x满足 1 f xT f x 则函数必有一个周期为 2T 4 对于非零常数 T 若函数 f x满足 1 f x f x 则函数必有一个周期为 2T 4 函数对称性 1 函数 yf x 满足 f axfxb 时 函数 yf x 的图像关于直线 2 ab x 对称 2 函数 yf x 满足 f axfxbc 时 函数 yf x 的图像关于点 22 ab c 对称 高三数学 2017 秋 第 6页 5 函数周期性与对称性 1 函数 yf x 有两根对称轴 xa 和xb 时 那么该函数必是周期函数 且对称 轴之间距离的两倍必是函数的一个周
9、期 即2Tab 2 函数 yf x 有两个对称中心 a c和 b c时 该函数也是周期函数 且 2Tab 3 函数 yf x 有一个对称中心 a c和一个对称轴xb 时 该函数也是周期函数 且4Tba 例 1 下列函数 f x 中 满足 对任意 x1 x2 0 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 的是 A f x 1 x B f x x 1 2C f x exD f x ln x 1 答案 A 解析 对任意 x1 x2 0 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 函数在 0 上是减函数 A 由反比例函数的性质知 此函数函数在 0 上是减函数 故 A 正确 B 由于 f x x 1
10、2 由二次函数的性质知 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 故 B 不对 C 由于 e 1 则由指数函数的单调性知 在 0 上是增函数 故 C 不对 D 根据对数的整数大于零得 函数的定义域为 1 由于 e 1 则由对数函数的单调性知 在 0 上是增函数 故 D 不对 故选 A 练习1 定义在R上的函数f x 满足 对任意的x1 x2 0 x1 x2 有 12 21 0 f xf x xx 则 A f 3 f 2 f 4 B f 1 f 2 f 3 C f 2 f 1 f 3 D f 3 f 1 f 0 答案 D 解析 若对任意的 x1 x2 0 x1 x2 有 12 21 0 f x
11、f x xx 则函数 f x 满 高三数学 2017 秋 第 7页 足在 0 上单调递减 则 f 3 f 1 f 0 故选 D 练习 2 下列函数中 是偶函数 且对任意的 x1 x2 0 x1 x2 恒有 12 21 0 f xf x xx 的函数是 A y x 2 B y x 1 C y x2D 1 3 yx 答案 A 解析 函数 y x 2 既是偶函数 在区间 0 上单调递减 故 A 正确 函数 y x 1 是奇函数 在区间 0 上单调递减 故 B 错误 函数 y x2 是偶函数 但在区间 0 上单调递增 故 C 错误 函数 1 3 yx 是奇函数 在区间 0 上单调递 增 故 D 错误
12、故选 A 此类题型考查的是简单函数单调性与奇偶性的判断 通常采用函数性质法进行求解 该 方法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法 函数性质法通常与我们常见的初等函数 的单调性结合起来使用 对于一些常见的初等函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数 函数 幂函数 的单调性与奇偶性需要牢牢掌握 例 2 已知函数 y f x 在定义域 1 1 上是减函数 且 f 2a 1 f 1 a 则实数 a 的取值范围是 A 2 3 B 2 1 3 C 0 2 D 0 答案 B 解析 函数 y f x 在定义域 1 1 上是减函数 则有 121 1 1 11 211 a a aa 解得a 2 1 3 故选
13、B 练习 1 已知函数 f x 是定义在区间 0 上的增函数 则满足 f 2x 1 f 1 3 的 x 的取值范围是 A 1 3 2 3 B 1 3 2 3 C 1 2 2 3 D 1 2 2 3 答案 D 高三数学 2017 秋 第 8页 解析 函数 f x 是定义在区间 0 上的增函数 则满足 f 2x 1 f 1 3 0 2x 1 1 3 解得 1 2 x 2 3 故选 D 练习 2 已知函数 f x 2x sinx 不等式 f m2 f 2m 3 0 其中 m R 的解集是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 1 3 答案 A 解析 根据题意 函数 f x 2x sinx 则 f
14、x 2 x sin x 2x sinx f x f x 为奇函数 又由 f x 2 cosx 0 则函数 f x 在 R 上为增函数 f m2 f 2m 3 0 f m2 f 2m 3 f m2 f 3 2m m2 3 2m m2 2m 3 0 解可得 3 m 1 即其解集为 3 1 故选 A 此类题型考查的是利用函数性质 单调性和奇偶性 解不等式 通常从定义域 单调性 奇偶性入手 首先利用函数的奇偶性将函数变形为 f g xf g x 的形式 在由抽 象函数的定义域和函数单调性的定义列不等式进行求解即可 例 3 若函数 21 x f x xxa 为奇函数 则 a A 1 2 B 2 3 C
15、3 4 D 1 答案 A 解析 f x 为奇函数 f 1 f 1 1 1a 1 3 1 a 1 a 3 1 a 解得 a 1 2 故选 A 练习 1 若 f x ln e3x 1 ax 是偶函数 则 a 答案 3 2 解析 若 f x ln e3x 1 ax 是偶函数 则 f x f x 即 ln e3x 1 ax ln e 3x 1 ax 高三数学 2017 秋 第 9页 即 2ax ln e 3x 1 ln e3x 1 ln 3 3 1 1 x x e e ln 3 3 3 1 1 x x x ee e lne 3x 3x 即 2a 3 解得 a 3 2 故答案为 3 2 此类题型考查的是
16、函数奇偶性的定义 通常采用特征法进行求解 例 4 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x3 x2 则 f 2 答案 12 解析 当 x 0 时 f x 2x3 x2 f 2 12 又 函数 f x 是定 义在 R 上的奇函数 f 2 12 故答案为 12 练习 1 设 f x 为定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x 2x b b 为常数 则 f 1 A 3B 1C 1D 3 答案 A 解析 因为 f x 为定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 20 2 0 b 0 解得 b 1 所以 当 x 0 时 f x 2x 2x 1 又因为 f x 为定义在 R 上的奇函数 所以 f 1 f 1 21 2 1 1 3 故选 A 此类题型考查的是函数奇偶性的定义 可以直接根据函数奇偶性定义代值求解 也可以 先求出函数解析式再代值 例 5 函数 f x 定义在实数集 R 上 f 2 x f x 且当 x 1 时 f x log2x 则有 A f 1 3 f 2 f 1 2 B f 1 2 f 2 f 1 3 C f 1 2 f 1 3 f 2 D f
