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1、第12讲 均值不等式1.了解不等式的基本结构以及公式.2.能够熟练掌握均值定理.3.掌握均值不等式的常见变形.1.算数平均数和几何平均数的大小应用.2.均值定理中等号成立的条件.3.均值不等式的常见变形.算术平均数与几何平均数1. 算术平均数与几何平均数的概念通常，我们把（1）叫做正数a，b的算术平均数；（2）叫做正数a，b的几何平均数；（3）不等式(a0，b0)可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.基本不等式（1）我们用作差配方比较法可以得出a2b22ab，此结论中，“”号何时成立？（2）若以，分别代替上述不等式中a，b，你能得出什么结论？你会用作差法证明你的结论吗？ab
2、2()2()22()20，ab20，即ab2，.当a0，b0时，这个不等式称为基本不等式，也可以称为均值不等式3基本不等式的几何解释如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD由射影定理或三角形相似可得CD，由CD小于或等于圆的半径，可得不等式.当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立例1.若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22.【答案】【解析】对于，ab()21，故成立；对于，()2ab2222，故不成立；对于，a2b2(ab)22ab42ab，由知，ab1，2a
3、b2，2ab2，即42ab2，故成立练习1.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()AxBxCxDx【答案】B【解析】这两年的平均增长率为xA(1x)2A(1a)(1b)，(1x)2(1a)(1b)，由题设a0，b0.1x1，x，等号在1a1b即ab时成立选B练习2.已知都是正数，求证【答案】【解析】注意到三个括号里面的都是和的形式，从而想到算术平均数所对应的不等式.对算术平均数和几何平均数的形式以及基本特征应有清晰的认识，算数平均数是两个数的和的形式，而几何平均数是两个数的乘积的形式.例2.设a、bR，且ab0.则下列不等式中，恒成立的是
4、()Aa2b22abBab2CD2【答案】D【解析】ab时，A不成立；a、b0时，B、C都不成立，故选D练习1.若0a1,0b1，且ab，则ab,2，2ab，a2b2中最大的一个是()Aa2b2B2C2abDab【答案】D【解析】解法一：0a1,0b2ab，ab2，aa2，bb2，aba2b2，故选D解法二：取a，b，则a2b2，2，2ab，ab，显然最大练习2.下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lgx(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【答案】C【解析】取x，则lg(x2)lgx，故排除A；取x，则sinx1，故排除B；取x0，则1，故排除D.应选C
5、.根据定义辨析与判断算术平均数与几何平均数的形式，在利用他们的性质确定各自的大小。均值定理1.均值定理已知x，y都是正数，（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即（2）如果xy是定值P，那么当xy时，xy有最小值2；（3）如果xy是定值S，那么当xy时，xy有最大值S2.2.均值定理在最值中的应用注意：利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条：(1)一正，即x，y都是正数；(2)二定，即xy(或xy)是定值；(3)三相等，x与y必须能够相等可理解为当ab时，必取“”号；当取到“”号时，必有ab.否则不能用基本不等式求最值例3.函数f(x)x的值域是()A4，)B(4，)CR D(，
6、44，)【答案】D【解析】当x 0时，y24；当x0，y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0 B1C2 D4【答案】D【解析】由等差、等比数列的性质得2224.当且仅当xy时取等号，所求最小值为4.注意均值不等式的条件，以及等号成立的条件，这是利用不等式求最值的极其重要的两个方面.例4.已知x，则函数y4x2的最大值是_【答案】1【解析】x，4x50，y4x24x533321，等号在54x，即x1时成立练习1下列函数中，最小值为2的是()AyBylgx(1x10)Cy3x3x(xR)Dysinx(0x1显然不成立，A不正确；lgx2，当且仅当lgx，即x
7、10或时，等号成立，而1x10，故等号不成立，B不正确；3x3x2，当且仅当3x3x，即x0时取等号，C正确；sinx2，当且仅当sinx1时取等号，而0x0，则2.(5)均值不等式的多种变形形式，一般的，我们把称为实数的调和平均数，把称为实数的几何平均数，把称为实数的算术平均数，把称为实数的平方平均数，则调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数的大小比较为：2.利用均值不等式的变形形式，求函数的最值，注意检验等号成立的条件。例5.已知x0，y0.(1)若2x5y20，求ulgxlgy的最大值；(2)若lgxlgy2，求5x2y的最小值【解析】(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2
8、2.又2x5y20，202，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立由，解得.当x5，y2时，xy有最大值10.这样ulgxlgylg(xy)lg101.当x5，y2时，umax1.(2)由已知，得xy100，5x2y2220.当且仅当5x2y，即当x2，y5时，等号成立所以5x2y的最小值为20.练习1.设a，b为非零实数，给出不等式：ab；()2；2.其中恒成立的不等式的个数是()A4 B3C2 D1【答案】C【解析】由重要不等式a2b22ab，可知正确；()2，故正确；对于，当ab1时，不等式的左边为1，右边为，可知不正确；当a1，b1时，可知不正确练习2给出下面四个推导过程：a，b为正实
9、数，22；x，y为正实数，lg xlg y2；aR，a0，a24；x，yR，xy0，()()22.其中正确的推导为()A B C D【答案】D【解析】a，b为正实数，为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确；虽然x，y为正实数，但当x(0，1)或y(0，1)时，lg x或lg y是负数，的推导过程是错误的；aR，a0，不符合基本不等式的条件，a24是错误的；由xy0时，f(x).t2，00，y0,2x3y6，则xy的最大值为()AB3CD1【答案】C【解析】x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)()2()2，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.故选C练习2.已知2(x0，y0)，则xy的最小值是_【答案】6【解析】2，22，xy6.利用均值不等式解决最值问题，要注意到所给条件的特征，有时候需要对条件进行化简整理，使其形式符合均值不等式的特征.1.算术平均数与几何平均数的概念2.均值不等式成立的条件，以及等号成立的条件及其应用.3.均值不等式的各种变形形式.
