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1、第2讲 函数及其性质1.了解函数的定义及其三要素.2.掌握函数的单调性及奇偶性.3.理解函数零点的判定（即零点存在定理）.1.函数的三要素是考试重点.2.函数的基本性质是高考热点，也是难点.3.注意函数单调性、奇偶性、周期性等的综合应用.函数的概念1. 映射设是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对中的任意一个元素在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射，这时称是在映射的作用下的象，记作，于是称为的原象，映射也可记为：，其中叫做映射的定义域（函数定义域的推广）由所有象构成的集合叫做映射的值域通常记作将上述定义中集合限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：2. 函数设集合是一个
2、非空数集，对中的任意的数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作，其中叫做自变量自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则4. 基本函数的定义域（1）分式的分母不应为零；（2）零次或负次指数次幂的底数不为零；（3）偶次方根的被开方数大于或者等于零；（4）对数式的真数大于零；（5）底数大于0且不等于1；（6）的定义域为；（7）应用题中要结合实际情况考察定义域5. 抽象函数的定义域抽象函数的定义域：在同一对应法则下，括
3、号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集6. 函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系例1. （2015秋海淀区校级月考）函数的定义域为（）A B4，1）（1，1）C D4，1）（1，+）【答案】A【解析】要使函数有意义，只需，即，解得4x1或1x则定义域为4，1）（1，故选A练习1. （2016秋丰台区期末）函数的定义域为（）A（0，1 B（，0）
4、 C（，1 D（，0）（0，1【答案】D【解析】由，解得x1且x0函数的定义域为（，0）（0，1,故选D练习2. （2017秋北京月考）函数的定义域为（）A （，0 B（，C（，（，0 D（，0【答案】C【解析】由题意得，解得：x（，（，0，故选C解决函数定义域问题，如果给出函数的解析式，则根据解析式找出所有的限定条件，然后解不等式组即可得到；抽象函数求定义域，先确定函数的定义域，然后根据同一题中，同一函数法则下定义域相同为桥梁，进行解题.例2. （2012秋西城区期末）函数的值域是（）A0，2 B0， C1，2 D1，【答案】D【解析】,令t=x+1,x0，5,t=x+11，6，f（t）=t
5、+5在1，2上单调递减，2，6上单调递增当t=2时函数有最小值1，而f（1）=0f（6）=,当t=6时函数有最大值,函数的值域1，,故选D.练习1. （2012北京模拟）如果x0，那么函数y=x+的值域是（）A（，2 B2，+） C（，22，+）D2，2【答案】B【解析】由题意知，当且仅当，即x=1时“=”成立，故函数y=x+的值域是2，+），故选B练习2. （2011秋西城区期末）函数f（x）=2+3x2x3在区间2，2上的值域为（）A2，22 B6，22 C0，20 D6，24【答案】A【解析】对函数求导可得，f（x）=6x3x2=3x（2x）,令f（x）0可得，0x2令f（x）0可得，2
6、x0,函数f（x）在2，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增,当x=0时，函数有最小值f（0）=2,f（2）=6，f（2）=22,当x=2时，函数有最大值22,故选A.求函数值域常用方法：换元法、不等式法、分离常数法、判别式法、单调性法，导数法等方法，在解题过程中要灵活应用.例3.（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是（2）记pi为第i名工
7、人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是【答案】Q1，p2【解析】（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为Q1，p2练习1.（2015秋西城区期末）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系且该食品在4的保鲜时间是16小时该食品在8的保鲜时间是小时
8、；已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间（填“是”或“否”）【答案】4，是【解析】食品在4的保鲜时间是16小时，24k+6=16，解得k=t（8）=24+6=4；由图象可知在12时，温度为12，此时该食品的保鲜期为20=1小时到13时，该食品已过保质期故答案为4，是练习2. （2010北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为【答案】4，+1【解析】从某一个顶
9、点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为故答案为4，+1函数的解析式求解中，结合实际条件，找到变量之间的关系如果函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，此时常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.函数的性质1
10、. 函数单调性(1)函数单调性的定义：如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数常用证明方法：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数(2)函数单调性的应用利用定义都是充要性命题即若在区间上递增（递减）且（）；若在区间上递递减且（）(3)复合函数单调性的判断：“同增异减”复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数注意：只有当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合
11、函数2. 函数的奇偶性与对称性(1)奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；(2)偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，都有，那么函数就叫做偶函数(3)图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数(4)奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；
12、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性为偶函数若奇函数的定义域包含，则设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.(5)对称性：关于y轴对称：；关于原点对称：；关于直线对称：或；关于点对称：或3. 函数的周期性(1)周期函数：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期(2)几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周
13、期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若 为偶函数，则其周期为函数的图象关于直线和都对称，则函数是以 为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数.例4.（2017秋昌平区期末）已知函数f（x）=ex+ex，则函数f（x）（）A是偶函数，且在（，0）上是增函数B是奇函数，且在（，0）上是增函数C是偶函数，且在（，0）上是减函数D是奇函数，且在（，0）上是减函数【答案】C【解析】函数的定义域是R，关于原点对称，f（x）=ex+ex=f（x），故函数f（x）是偶函数，x0时，f（x）=exex0，故f（x）在（，0）递减，故选C练习1. （2017秋东城区期末）已知函数，则f（x）的（）A图象关于原点对称，且在0，+）上是增函数B图象关于y轴对称，且在0，+）上是增函数C图象关于原点对称，且在0，+）上是减函数D图象关于y轴对称，且在0，+）上是减函数【答案】B【解析】=2x+，故f（x）=2x+=2x+=f（x），且f（x）=2xln22xln2=ln2（2x）0，故函数在0，+）递增，故选B练习2.（2017秋西城区期末）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）Ay=x+1By=（x1）2Cy=sinxD【答案
