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1、第19讲 计数原理1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并会用其解决一些简单的实际问题；2.理解排列与组合的概念，并解决简单的实际问题；3.掌握二项式定理的内容，并解决与二项式展开式有关的简单问题。 1.两个基本计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，主要考察分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和思维能力；2.利用通项求展开式的特定项及参数值以及利用二项式定理求有关系数的问题；3.二项式定理与数列、定积分等相交汇问题。两个基本计数原理一、分类加法计数原理1.定义：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的
2、方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+mn种不同的方法.2.特点：完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；用每一类的每一种方法都可以完成这件事；把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。二、分步乘法技术原理1.定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法做第n步有mn种方法。那么，完成这件事共有N=m1m2mn种方法.2.特点：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；完成每一步有若干种方法；把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数。例1.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六
3、合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个【答案】B【解析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：363315个例2.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，
4、但每人参加的项目不限【答案】（1）729种（2）120种（3）216种【解析】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36729种(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法654120种(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63216种练习1.若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象,则称n为“良
5、数”.例如:32是“良数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为( )A.27B.36C.39D.48【答案】D【解析】如果n是良数，则n的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0），而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有33=9个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有343=36个综上，小于1000的“良数”的个数为3+9+36=48个练习2.乘积（a1+a2+a3）
6、（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_项【答案】60【解析】根据多项式的乘法法则，（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的结果中每一项都必须是在（a1+a2+a3）、（b1+b2+b3+b4）、（c1+c2+c3+c4+c5）三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在（a1+a2+a3）中有3种取法，在（b1+b2+b3+b4）中有4种取法，在（c1+c2+c3+c4+c5）中有5种取法，由乘法原理，可得共有345=60种情况，则（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）的展开式中有60
7、项；故答案为60解决方法种数的一般方法：第一步：先审清题意，弄清这件事是怎样完成的；第二步，分析完成这件事是分类、分步、先分类后分步、先分步后分类；第三步，弄清每一类或每一步的方法种数；第四步，计算。例3.对如图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（）A12种B18种C20种D22种【答案】B【解析】若AD相同，先染A处，有3种方法，在染B处2种方法，第三步染C有2种方法，共有322=12种，若AD不同，先染A处，有3种方法，再染D处2种方法，第三步染B有1种方法，第四步染C有1种方法，共有3211=
8、12种，根据分类计数原理可得共有12+6=18种。练习1.现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（）A27B54C108D144【答案】C【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有4种结果，再给左边第二块涂色有3种结果，以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，根据分步计数原理知共有4333=108 问题是计数原理应用中的典型问题，大致有以下两种解决方案：（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行比较；（2）根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数.
9、例5.已知数列an（n=1，2，36）满足an1，2，3，4，5，6，7，且当ij（ij=1，2，36）时，aiaj若a1a2a3，a4a5a6，则符合条件的数列an的个数是（）A140B160C840D5040【答案】A【解析】先从7个数中任意选出3个，最大的数为a1，最小的数为a3，另一数为a2，这样的选法有35种；同理，从剩余的4个数中任选3个，有4种选法，由分步计数原理知共有435=140种选法练习1.设集合I=1，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A.50种B.49种C.48种D.47种【答案】B【解析】集合A、B中没
10、有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有210=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有35=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有41=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法选B集合
11、与数列也是经常与计数原理综合考察的内容，要熟练掌握集合与数列的原理及其运算关系。排列与组合一：排列与排列数1.定义：排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示2.排列数公式：，并且.二：组合与组合数1.定义：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合从n个不同元素中，任意取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组
12、合数，用符号表示2.组合数公式：，并且3.组合数性质：（且）；（且）三：排列与组合的异同排列组合相同点都是“从n个不同元素中取出m个元素”不同点与元素的顺序有关，为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”与元素的顺序无关，为“将取出的元素组合成一组”例6.（1）解方程：；（2）解不等式：；（3）已知,求【答案】（1）5（2）6（3）28【解析】（1）由排列数的公式可知：3x（x-1）（x-2）=2（x+1）x+6x（x-1），因为x3且xN*，所以3（x-1）（x-2）=2（x+1）+6（x-1），即，解得x=5或（舍去），所以x=5。（2）由排列数公式可知：，整理得，即m2-15m+500，得5
13、m10，又由，所以m6，即m=6，即不等式的解集为6。（3）根据组合数公式,原方程可化为:,即；化简可得,解可得m=2或m=21(不符合组合数的定义,舍去)则m=2;练习1.解方程：（1）；（2）【答案】（1）3；（2）4【解析】（1）根据排列数的公式，列出方程解方程求出x的值；（2）根据组合数公式化简并列出方程，解方程即可组合数与排列数的计算公式要熟练记忆，每个公式都有阶乘的形式，多用于对含有字母的排列数与组合数进行变形或证明。例7（1）6名同学站成一排照相，则同学甲既不站在最左边又不站在最右边的站法有_种；（2）甲、乙等6人按要求站成一排，则甲不站在最左边、乙不站在最右边的站法有_种；（3
14、）3名女生、4名男生站成一排，则女生必须相邻、男生也必须相邻的站法有_种；（4）有8本不同的书，其中语文书4本、数学书4本，若将这8本书随机地并排摆放到书架的同一层上，则任意两本数学书都不相邻的摆放方式有_种【答案】（1）480（2）504（3）288（4）2880【解析】（1）方法一（位置分析法）：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有种站法；第2步，余下4人（含甲）站在剩下的4个位置上，有种站法由分步乘法计数原理可知，共有种不同的站法方法二（元素分析法）：先安排甲的位置（既不站在最左边又不站在最右边），再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边的任意位置上，有种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有种站法由分步乘法计数原理可知，共有种不同的站法（2）方法一（直接法）：可以按特殊的人（甲或乙）分类，也可以按位置分类求解若按特殊的人分类，分两类：第1类，甲站在最右边只有1种站法，其余5人的站法有种；第2类，甲站在中间的4个位置之一，这时分3步完成，第1步，先让甲站队，有种站法；第2步，让乙站队，乙不站在
